Verifique que a função
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
. Vamos usar o critério de que se as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo ponto, então
é diferenciável.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Seja
então
. Pela regra da cadeia,
De modo semelhante,
Passo 3
As expressões de
e
são compostas de polinômios e das funções
e
, todas contínuas em
. Logo, as derivadas parciais de
são contínuas em
. Pelo teorema que diz que existência e continuidade das derivadas parciais implicam diferenciabilidade, concluímos que
é diferenciável.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.