Verifique que a função f(x, y)=\cos \left(x^{2}-3 x y^{4}\right) é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\cos\bigl(x^2-3xy^4\bigr)
é diferenciável em \mathbb{R}^2. Vamos usar o critério de que se as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo ponto, então f é diferenciável.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Seja
h(x,y)=x^2-3xy^4,
então f(x,y)=\cos\bigl(h(x,y)\bigr). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =-\sin\bigl(h(x,y)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial x} =-\sin\bigl(x^2-3xy^4\bigr)\,\bigl(2x-3y^4\bigr).
De modo semelhante,
\frac{\partial f}{\partial y} =-\sin\bigl(h(x,y)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial y} =-\sin\bigl(x^2-3xy^4\bigr)\,\bigl(-12xy^3\bigr) =12xy^3\sin\bigl(x^2-3xy^4\bigr).

Passo 3

As expressões de \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são compostas de polinômios e das funções \sin e \cos, todas contínuas em \mathbb{R}. Logo, as derivadas parciais de f são contínuas em \mathbb{R}^2. Pelo teorema que diz que existência e continuidade das derivadas parciais implicam diferenciabilidade, concluímos que f é diferenciável.

Resposta

A função f(x,y)=\cos\bigl(x^2-3xy^4\bigr) é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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