Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=a t \cos 3 t \vec{i}+b \sin ^{3} t \vec{j}+c \cos ^{3} t \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=a\,t\cos(3t)\,\vec{i}+b\,\sin^{3}(t)\,\vec{j}+c\,\cos^{3}(t)\,\vec{k}.
Para resolver, vamos usar a regra do produto na componente em \vec{i} e a regra da cadeia nas componentes em \vec{j} e \vec{k}.

Passo 2

Derivada da componente em \vec{i}:
\frac{d}{dt}\bigl[a\,t\cos(3t)\bigr] = a\Bigl(\frac{d}{dt}t\cdot\cos(3t)+t\cdot\frac{d}{dt}\cos(3t)\Bigr) = a\bigl(\cos(3t)+t\cdot(-\sin(3t)\cdot3)\bigr) = a\bigl(\cos(3t)-3t\sin(3t)\bigr).

Passo 3

Derivada da componente em \vec{j}:
\frac{d}{dt}\bigl[b\,\sin^{3}(t)\bigr] = b\cdot3\sin^{2}(t)\cdot\cos(t) =3b\,\sin^{2}(t)\cos(t).

Passo 4

Derivada da componente em \vec{k}:
\frac{d}{dt}\bigl[c\,\cos^{3}(t)\bigr] = c\cdot3\cos^{2}(t)\cdot(-\sin(t)) =-3c\,\cos^{2}(t)\sin(t).

Resposta

r'(t) = a\bigl(\cos(3t)-3t\sin(3t)\bigr)\,\vec{i} +3b\,\sin^{2}(t)\cos(t)\,\vec{j} -3c\,\cos^{2}(t)\sin(t)\,\vec{k}.

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