Determine a solução do problema de valor inicial.
l4 y^prime prime-y=0, y(-2)=1, y^prime(-2)=-1

Passo 1

O problema pede para resolver uma EDO homogênea de segunda ordem com condições iniciais em x=-2. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação característica associada a 4y''-y=0. Substituindo y=e^rx, obtemos
r^2-tfrac14=0,
pois dividimos tudo por 4.

Passo 3

Resolvendo r^2-tfrac14=0, achamos as raízes
r=pmtfrac12
Isso indica que a solução geral é da forma
y(x)=C1e^x/2+C2e^-x/2

Passo 4

Derivamos y(x) para usar a condição sobre y'(-2). Tem-se
y'(x)=tfracC12e^x/2-tfracC22e^-x/2

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais em x=-2:
  1. y(-2)=1
C1e^-1+C2e^1=1,
  1. y'(-2)=-1
tfracC12e^-1-tfracC22e^1=-1

Passo 6

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira:
C1e^-1+C2e=1, C1e^-1-C2e=-2
Somando as duas: 2C1e^-1=-1 leva a C1=-tfrace2. Substituindo em C1e^-1+C2e=1 resulta em C2=tfrac32e^-1.

Passo 7

Com C1 e C2 encontrados, escrevemos a solução particular:
y(x)=-tfrace2e^x/2+tfrac32e^-1e^-x/2=-tfrac12e^(x+2)/2+tfrac32e^-(x+2)/2

Resposta

y(x)=-tfrac12e^(x+2)/2+tfrac32e^-(x+2)/2

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