Determine a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
O problema pede para resolver uma EDO homogênea de segunda ordem com condições iniciais em
. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Começamos escrevendo a equação característica associada a
. Substituindo
, obtemos
pois dividimos tudo por 4.
Passo 3
Resolvendo
, achamos as raízes
Isso indica que a solução geral é da forma
Passo 4
Derivamos
para usar a condição sobre
. Tem-se
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais em
:
-
dá
-
dá
Passo 6
Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira:
Somando as duas:
leva a
. Substituindo em
resulta em
.
Passo 7
Com
e
encontrados, escrevemos a solução particular: