Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício nos deu. A questão pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Vamos precisar entender sobre integrais impróprias, especialmente aquelas que vão até o infinito, e também saber como aplicar o teste de comparação para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da função dentro da integral:
Note que quando
se aproxima de 2, o denominador
tende a zero, o que faz
tender ao infinito. Além disso, a integral vai de 1 até o infinito, então precisamos considerar o comportamento da função nesses intervalos.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes para analisar melhor:
Agora, vamos verificar a convergência de cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Primeiro, olhemos para a integral de 1 a 2:
Aqui,
é negativo, e estamos elevando a um expoente fracionário, o que pode complicar as coisas. Na verdade, quando
se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, o denominador tende a zero negativo elevado a
não é definido nos números reais. Isso indica que a integral não é bem definida nesse intervalo, sugerindo uma divergência.
Passo 5
Vamos agora analisar a segunda parte da integral:
Aqui,
é positivo e cresce à medida que
aumenta. Para verificar a convergência, podemos comparar com uma integral conhecida:
Sabemos que a integral
converge se
. No nosso caso,
, então a integral comparada converge. Portanto, a integral original também converge nessa parte.
Passo 6
Como a primeira parte da integral (
a
) é divergente, mesmo que a segunda parte (
a
) seja convergente, o comportamento geral da integral depende da parte que diverge. Assim, concluímos que a integral completa é divergente.
Resposta
A integral
é divergente.