Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral1^infty 1(x-2)^32 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício nos deu. A questão pede para determinar se a integral
integral1^infty 1(x-2)^32 , dx
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Vamos precisar entender sobre integrais impróprias, especialmente aquelas que vão até o infinito, e também saber como aplicar o teste de comparação para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função dentro da integral:
f(x) = 1(x-2)^32
Note que quando se aproxima de 2, o denominador tende a zero, o que faz tender ao infinito. Além disso, a integral vai de 1 até o infinito, então precisamos considerar o comportamento da função nesses intervalos.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes para analisar melhor:
integral1^infty 1(x-2)^32 , dx = integral1^2 1(x-2)^32 , dx + integral2^infty 1(x-2)^32 , dx
Agora, vamos verificar a convergência de cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeiro, olhemos para a integral de 1 a 2:
integral1^2 1(x-2)^32 , dx
Aqui, é negativo, e estamos elevando a um expoente fracionário, o que pode complicar as coisas. Na verdade, quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, o denominador tende a zero negativo elevado a não é definido nos números reais. Isso indica que a integral não é bem definida nesse intervalo, sugerindo uma divergência.

Passo 5

Vamos agora analisar a segunda parte da integral:
integral2^infty 1(x-2)^32 , dx
Aqui, integral2^infty 1x^32 , dx é positivo e cresce à medida que aumenta. Para verificar a convergência, podemos comparar com uma integral conhecida:
Sabemos que a integral converge se . No nosso caso, , então a integral comparada converge. Portanto, a integral original também converge nessa parte.

Passo 6

Como a primeira parte da integral ( a ) é divergente, mesmo que a segunda parte ( a ) seja convergente, o comportamento geral da integral depende da parte que diverge. Assim, concluímos que a integral completa é divergente.

Resposta

A integral
integral1^infty 1(x-2)^32 , dx
é divergente.

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