Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral que pede para determinar se uma integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também deve calcular o valor dela. A integral que vamos analisar é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais impróprias porque temos um dos limites de integração indo para o infinito. Vamos precisar entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente e como resolver esse tipo de integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, se conseguimos calcular um número específico para ela. Já uma integral é divergente se ela tende ao infinito ou não possui um valor bem definido.
No nosso caso, a integral é de
a
, então precisamos verificar o comportamento da função quando
vai para
e próximo de
.
Passo 3
Vamos analisar a função dentro da integral:
Para entender o comportamento dessa função, observamos o que acontece quando
se aproxima de
e de
.
-
Quando
:
Portanto,
E assim, -
Quando
:
Então,
A função permanece finita e bem definida.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. Para isso, faremos uma substituição simples:
Seja:
Então,
Substituindo na integral:
A integral de
é:
Substituindo de volta
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Vamos calcular cada parte:
-
Quando
: -
Quando
:
Então,
Passo 6
Substituindo os limites:
Isso significa que a integral tende ao infinito.
Resposta
A integral
é divergente.