Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral-infty^-1 1raiz2-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral que pede para determinar se uma integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também deve calcular o valor dela. A integral que vamos analisar é:
integral-infty^-1 1raiz2 - x , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais impróprias porque temos um dos limites de integração indo para o infinito. Vamos precisar entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente e como resolver esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, se conseguimos calcular um número específico para ela. Já uma integral é divergente se ela tende ao infinito ou não possui um valor bem definido.
No nosso caso, a integral é de -infty a -1, então precisamos verificar o comportamento da função quando x vai para -infty e próximo de -1.

Passo 3

Vamos analisar a função dentro da integral:
1raiz2 - x
Para entender o comportamento dessa função, observamos o que acontece quando x se aproxima de -infty e de -1.
  • Quando x to -infty:
    2 - x to infty
    Portanto,
    raiz2 - x to infty
    E assim,
    1raiz2 - x to 0
  • Quando x to -1:
    2 - (-1) = 3
    Então,
    raiz2 - (-1) = raiz3
    A função permanece finita e bem definida.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral. Para isso, faremos uma substituição simples:
Seja:
u = 2 - x
Então,
du = -dx Rightarrow dx = -du
Substituindo na integral:
integral 1raiz2 - x , dx = integral 1raizu cdot (-du) = -integral u^-1/2 , du
A integral de u^-1/2 é:
-2 raizu + C
Substituindo de volta u = 2 - x:
-2 raiz2 - x + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de -infty a -1:
integral-infty^-1 1raiz2 - x , dx = [ -2 raiz2 - x ]-infty^-1
Vamos calcular cada parte:
  • Quando x = -1:
    -2 raiz2 - (-1) = -2 raiz3
  • Quando x to -infty:
    2 - x to infty
    Então,
    -2 raiz2 - x to -infty

Passo 6

Substituindo os limites:
[ -2 raiz3 ] - [ -infty ] = -2 raiz3 + infty = infty
Isso significa que a integral tende ao infinito.

Resposta

A integral integral-infty^-1 1raiz2 - x , dx é divergente.

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