Determine a solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}-\frac{1}{2} y=e^{-t} \\ y(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y' - \tfrac12\,y = e^{-t},\\\ y(0) = -1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver precisamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(t)\,y = g(t)
aqui p(t) = -\tfrac12 e g(t)=e^{-t}. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,\mathrm{d}t\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tfrac12\,\mathrm{d}t\Bigr) = \exp\bigl(-\tfrac t2\bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{-t/2}y' - \tfrac12 e^{-t/2}y = e^{-t/2}e^{-t} = e^{-3t/2}.
O lado esquerdo é a derivada de \mu(t)y, isto é,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(e^{-t/2}y\bigr) = e^{-3t/2}.
Integramos ambos os lados em t:
e^{-t/2}y = \int e^{-3t/2}\,\mathrm{d}t = -\tfrac23\,e^{-3t/2} + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Isolando y:
y = -\tfrac23\,e^{-3t/2} \,\bigl/e^{-t/2}\;+\;C\,e^{t/2} = -\tfrac23\,e^{-t} + C\,e^{t/2}.
Usamos y(0)=-1 para achar C:
-1 = y(0) = -\tfrac23 + C\;\Longrightarrow\;C = -1 + \tfrac23 = -\tfrac13.

Resposta

\boxed{y(t) = -\tfrac23\,e^{-t}\;-\;\tfrac13\,e^{t/2}.}

Exercícios relacionados