Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0 \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=14 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 0
sujeita às condições
y(0)=2,\quad y'(0)=14.
Para isso, vamos (1) montar e resolver a equação característica, (2) escrever a solução geral, (3) diferenciar para obter y', e (4) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 2r - 3 = 0.
Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos as raízes r.

Passo 3

Calculando o discriminante e as raízes:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
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r_1 = 3, \quad r_2 = -1.
Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}.
Derivando, obtemos
y'(x) = 3C_1 e^{3x} - C_2 e^{-x}.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=C_1 + C_2 = 2,
y'(0)=3C_1 - C_2 = 14.
Isso fornece um sistema linear para C_1 e C_2.

Passo 5

Somando as duas equações:
(C_1 + C_2) + (3C_1 - C_2) = 2 + 14 \;\Longrightarrow\; 4C_1 = 16 \;\Longrightarrow\; C_1 = 4.
Substituindo em C_1 + C_2 = 2:
4 + C_2 = 2 \;\Longrightarrow\; C_2 = -2.
Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = 4e^{3x} - 2e^{-x}.

Resposta

y(x) = 4e^{3x} - 2e^{-x}.

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