Determine a solução do Problema de Valor Inicial (6 pontos)
y^prime prime(t)+6 y^prime(t)+5 y(t)=10 e^2 t, y(0)=2 e y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o Problema de Valor Inicial
y''(t) + 6,y'(t) + 5,y(t) = 10,e^2t, y(0)=2,;y'(0)=0
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado 10e^2t. Vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e coeficientes a determinar para a particular.

Passo 2

Encontramos a solução geral da equação homogênea
y'' + 6y' + 5y = 0
por meio da equação característica
lambda^2 + 6lambda + 5 = 0
As raízes são lambda=-1 e lambda=-5. Logo
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-5t

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
yp(t)=A,e^2t.
Então
yp' = 2A,e^2t, yp'' = 4A,e^2t
Substituindo na EDO:
4A,e^2t + 6,(2A,e^2t) + 5,(A,e^2t) = (4A + 12A + 5A),e^2t =21A,e^2t,
que deve ser igual a 10e^2t. Assim
21A = 10 Rightarrow A = 1021
Logo
yp(t) = 1021,e^2t

Passo 4

A solução geral do problema forçado é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-t + C2 e^-5t + 1021e^2t

Passo 5

Calculamos y'(t) para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = -C1 e^-t -5C2 e^-5t + 2021e^2t
Em t=0:
y(0)=C1 + C2 + 1021=2 Longrightarrow C1 + C2 = 2 - 1021 = 3221,
y'(0) = -C1 - 5C2 + 2021 = 0 Longrightarrow -C1 - 5C2 = -2021 Longrightarrow C1 + 5C2 = 2021
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3221, C1 + 5C2 = 2021,
subtraindo a primeira da segunda:
4C2 = -1221 Rightarrow C2 = -17,
e então
C1 = 3221 - C2 = 3221 + 17 = 32+321 = 3521 = 53

Resposta

boxed y(t) = 53,e^-t - 17,e^-5t + 1021,e^2t

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