Uma peça de carne congelada é retirada de um congelador a -10^circ C e colocada para aquecimento em temperatura ambiente de 30^circ C. Após 5 minutos a temperatura da peça aumentou para 0^circ C. Pela Lei de Resfriamento de Newton, qual a temperatura da peça em função do tempo? Quanto tempo será necessário para que a peça atinja a temperatura de 20^circ C ? ( 6 pontos)

Passo 1

O enunciado trata da aplicação da Lei de Resfriamento (ou Aquecimento) de Newton, que modela a variação da temperatura T(t) de um objeto imerso num ambiente de temperatura constante Tamb. Aqui, Tamb = 30^circC e a peça começa com T(0) = -10^circC. Precisamos formular a equação diferencial, resolver para T(t) e depois determinar o tempo em que T(t)=20^circC.

Passo 2

Pela Lei de Newton temos
dTdt = kl(Tamb - T(t)r),
onde k>0 é a constante de aquecimento. Essa é uma EDO linear cuja solução geral é
T(t) = Tamb + C,e^-k t
Usando a condição inicial T(0) = -10, obtemos
-10 = 30 + CLongrightarrow C = -40
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T(t) = 30 - 40,e^-k t

Passo 3

Usamos agora o dado de que em t=5 minutos a temperatura é T(5)=0. Substituindo em
0 = 30 - 40,e^-5k
temos
40,e^-5k = 30 Longrightarrow e^-5k = 34 Longrightarrow -5k = ln!l(tfrac34r)
e portanto
k = -15ln!l(tfrac34r) = 15ln!l(tfrac43r)

Passo 4

Substituindo k em T(t), a temperatura em função do tempo fica
T(t) = 30 - 40,exp!l(-t,tfrac15lntfrac43r) = 30 - 40l(tfrac34r)^!t/5

Passo 5

Para achar o tempo tau tal que T(tau)=20, resolvemos
20 = 30 - 40,e^-ktau Longrightarrow 40,e^-ktau = 10 Longrightarrow e^-ktau = 14 Longrightarrow -ktau = ln!l(tfrac14r) = -ln 4
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tau = ln 4k = ln 4tfrac15ln(tfrac43) = 5,ln 4ln(4/3)

Passo 6

Calculando numericamente, usando ln 4approx1,3863 e ln(4/3)approx0,2877, obtemos
tau approx 5,1,38630,2877approx24,1 minutos

Resposta

A função temperatura é
T(t)=30 - 40l(tfrac34r)^!t/5 (em (^circC), com (t) em minutos)
O tempo para atingir 20^circC é
t approx 24,1 min

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