Determine a solução do Problema de Valor Inicial (6 pontos)
Passo 1
O enunciado dá um Problema de Valor Inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para resolver, vamos (1) achar as raízes da equação característica, (2) montar a solução geral, (3) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Calculamos o discriminante:
logo as raízes são complexas conjugadas:
Passo 3
Como as raízes são
, a solução geral da equação homogênea é
Passo 4
Para impor as condições iniciais, vamos computar
. Usando derivada de produto,
Agrupando,
Passo 5
Agora aplicamos
:
-
dá
-
dá
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é