Determine a solução do Problema de Valor Inicial (6 pontos)
y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+5 y(t)=0, y(0)=4 e y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado dá um Problema de Valor Inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''(t) + 4,y'(t) + 5,y(t) = 0, y(0)=4,;y'(0)=2
Para resolver, vamos (1) achar as raízes da equação característica, (2) montar a solução geral, (3) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 5 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot5 = 16 - 20 = -4,
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = -4 pm raiz-42 = -2 pm i

Passo 3

Como as raízes são -2pm i, a solução geral da equação homogênea é
y(t) = e^-2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 4

Para impor as condições iniciais, vamos computar y'(t). Usando derivada de produto,
y'(t) = e^-2tl(-2(C1cos t + C2sin t)r) + e^-2tl(-C1sin t + C2cos tr)
Agrupando,
y'(t) = e^-2tl(-2C1cos t -2C2sin t - C1sin t + C2cos tr)

Passo 5

Agora aplicamos t=0:
  1. y(0)=4
y(0)=e^0(C1cos0 + C2sin0)=C1 = 4
  1. y'(0)=2
y'(0)=e^0l(-2C1 + C2r) = -2cdot4 + C2 = -8 + C2 = 2 Longrightarrow C2 = 10

Passo 6

Substituindo C1=4 e C2=10 na solução geral, obtemos a solução particular:
y(t) = e^-2tl(4cos t + 10sin tr)

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é
y(t) = e^-2tl(4cos t + 10sin tr)

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