Uma pequena comunidade isolada com 5.000 habitantes recebe um visitante infectado com um virus. Se o processo de contaminação do virus é proporcional às interações (encontros) entre a população infectada
e a população não infectada
, podemos supor que a taxa de crescimento
das pessoas infectadas satisfaz à equação diferencial ordinária de primeira ordem (conhecida como equaçăo logística)
em que
é uma constante. Se após 10 dias o número de infectados aumentou para 50 habitantes, estime o tempo necessário (em dias) para que a metade da população contraia o vírus.
Passo 1
O enunciado dá a equação logística
onde
é o número de infectados em dias,
é constante e a capacidade de suporte é
. Inicialmente há um visitante infectado, ou seja
, e sabe-se que
. Queremos achar o tempo
tal que
.
Passo 2
A solução geral da equação logística com capacidade
é
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Passo 3
Usando
e
obtemos
Logo
Passo 4
Impondo
temos
Passo 5
Queremos
tal que
. Assim
Resposta
O tempo necessário para metade da população ser infectada é aproximadamente
dias.