Uma pequena comunidade isolada com 5.000 habitantes recebe um visitante infectado com um virus. Se o processo de contaminação do virus é proporcional às interações (encontros) entre a população infectada y e a população não infectada 5.000 - y, podemos supor que a taxa de crescimento y^prime(x) das pessoas infectadas satisfaz à equação diferencial ordinária de primeira ordem (conhecida como equaçăo logística)
y^prime(t)=d yd y=k y cdot(5.000-y)
em que k é uma constante. Se após 10 dias o número de infectados aumentou para 50 habitantes, estime o tempo necessário (em dias) para que a metade da população contraia o vírus.

Passo 1

O enunciado dá a equação logística
y'(t)=k,y(t)l(5000-y(t)r),
onde y(t) é o número de infectados em dias, k é constante e a capacidade de suporte é M=5000. Inicialmente há um visitante infectado, ou seja y(0)=1, e sabe-se que y(10)=50. Queremos achar o tempo t1/2 tal que y(t1/2)=2500.

Passo 2

A solução geral da equação logística com capacidade M é
y(t)=M1 + A e^-k M t,
onde A é constante determinada pela condição inicial.

Passo 3

Usando y(0)=1 e M=5000 obtemos
1=50001 + ALongrightarrow 1+A=5000Longrightarrow A=4999
Logo
y(t)=50001 + 4999,e^-5000,k,t

Passo 4

Impondo y(10)=50 temos
50=50001 + 4999,e^-5000,kcdot 10 Longrightarrow 1 + 4999,e^-50000,k = 500050=100
4999,e^-50000,k=99 Longrightarrow e^-50000,k=994999 Longrightarrow -50000,k=ln!l(tfrac994999r)
k=-150000,ln!l(tfrac994999r)

Passo 5

Queremos t1/2 tal que y(t1/2)=2500. Assim
2500=50001 + 4999,e^-5000,k,t1/2 Longrightarrow 1 + 4999,e^-5000,k,t1/2=2
4999,e^-5000,k,t1/2=1 Longrightarrow e^-5000,k,t1/2=14999 Longrightarrow -5000,k,t1/2=-ln(4999)
t1/2=ln(4999)5000,k =ln(4999)5000;gl(-50000ln(tfrac994999)gr) =10;ln(4999)ln!l(tfrac499999r)approx 21,7 dias

Resposta

O tempo necessário para metade da população ser infectada é aproximadamente 21,7 dias.

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