2,5 Determine a solução do problema de valor inicial
X' = [[2, 4], [-1, 6]] X ; X(0) = (2, 3)

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. A gente tem um sistema de equações diferenciais representado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais, onde precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver, vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo o determinante :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo .

Passo 3

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos resolver :
Isso nos dá as equações:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher , então . Assim, um autovetor é:

Passo 4

Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um vetor generalizado tal que .
Resolvendo :
Isso dá:
Resolvendo a segunda equação:
Escolhendo , então . Portanto, o vetor generalizado é:

Passo 5

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores e os vetores encontrados:
Substituindo , e :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá o sistema:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Ou simplificando:

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