Determine a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. A gente tem um sistema de equações diferenciais representado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais, onde precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
. Para resolver, vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores (
) são encontrados resolvendo o determinante
:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo
.
Passo 3
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos resolver
:
Isso nos dá as equações:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor é:
Passo 4
Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um vetor generalizado
tal que
.
Resolvendo
:
Isso dá:
Resolvendo a segunda equação:
Escolhendo
, então
. Portanto, o vetor generalizado é:
Passo 5
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores e os vetores encontrados:
Substituindo
,
e
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Ou simplificando: