1,0 Se X = Phi(t) C é a solução geral de X' = A X, mostre que a solução do problema de valor inicial X' = A X, X(t0) = X0, é X = Phi(t) * Phi^-1(t0) * X0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, dado que é a solução geral da equação diferencial , a solução do problema de valor inicial é . Estamos lidando com equações diferenciais lineares e vamos precisar entender como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a solução geral da equação . Aqui, é a matriz fundamental, e é uma constante vetorial. A matriz fundamental é uma solução particular que satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a constante que satisfaz a condição inicial . Para isso, substituímos na solução geral:

Passo 4

Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados por , que é a inversa da matriz fundamental no tempo :
Como (a matriz identidade), temos:

Passo 5

Agora que encontramos , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

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