O que se pede é determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e que satisfaz as duas condições iniciais dadas em x=0.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
A equação diferencial é linear, homogênea e de segunda ordem: y''+4y=0.
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1.
A incógnita a encontrar é a função y(x) definida em um intervalo contendo 0.]
Passo 2
Escolha do método: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma exponencial y(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}. Esse método funciona porque derivadas de exponenciais voltam a ser exponenciais, o que transforma a ODE em uma equação algébrica para \lambda (a chamada equação característica). Vou usar essa técnica agora.
As raízes são complexas conjugadas \lambda_{1}=2\mathrm{i} e \lambda_{2}=-2\mathrm{i}. Para raízes complexas \alpha\pm\beta\mathrm{i} de uma equação característica com coeficientes reais, a solução geral real da ODE é
No nosso caso \alpha=0 e \beta=2, portanto as soluções fundamentais são \cos(2x) e \sin(2x), e a solução geral real da ODE é
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
(Comentário rápido sobre por que aparece seno e cosseno: usar \mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}=\cos(2x)+\mathrm{i}\sin(2x) — partes real e imaginária de exponenciais complexas geram soluções reais linearmente independentes.)
Passo 4
Agora calculo a derivada de y(x) para aplicar a condição inicial em y'(0). Derivando termo a termo: