Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+4 y=0 \\\ y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
\begin{cases} y'' + 4y = 0,\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y'(0)=1. \end{cases}
O que se pede é determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e que satisfaz as duas condições iniciais dadas em x=0.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A equação diferencial é linear, homogênea e de segunda ordem: y''+4y=0.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1.
  • A incógnita a encontrar é a função y(x) definida em um intervalo contendo 0.]

Passo 2

Escolha do método: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma exponencial y(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}. Esse método funciona porque derivadas de exponenciais voltam a ser exponenciais, o que transforma a ODE em uma equação algébrica para \lambda (a chamada equação característica). Vou usar essa técnica agora.
Assumir y(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}. Então
y'(x)=\lambda \mathrm{e}^{\lambda x},\qquad y''(x)=\lambda^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}.
Substituindo na equação y''+4y=0 obtemos
\lambda^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}+4\mathrm{e}^{\lambda x}=0.
Como \mathrm{e}^{\lambda x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por \mathrm{e}^{\lambda x} e obter a equação característica
\lambda^{2}+4=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
\lambda^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=-4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 2\mathrm{i}.
As raízes são complexas conjugadas \lambda_{1}=2\mathrm{i} e \lambda_{2}=-2\mathrm{i}. Para raízes complexas \alpha\pm\beta\mathrm{i} de uma equação característica com coeficientes reais, a solução geral real da ODE é
y(x)=C_{1}\mathrm{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_{2}\mathrm{e}^{\alpha x}\sin(\beta x).
No nosso caso \alpha=0 e \beta=2, portanto as soluções fundamentais são \cos(2x) e \sin(2x), e a solução geral real da ODE é
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
(Comentário rápido sobre por que aparece seno e cosseno: usar \mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}=\cos(2x)+\mathrm{i}\sin(2x) — partes real e imaginária de exponenciais complexas geram soluções reais linearmente independentes.)

Passo 4

Agora calculo a derivada de y(x) para aplicar a condição inicial em y'(0). Derivando termo a termo:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
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y'(x) = C_{1}\cdot\frac{d}{dx}\cos(2x) + C_{2}\cdot\frac{d}{dx}\sin(2x).
As derivadas básicas são \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x). Portanto
y'(x) = -2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, y(0)=0. Avaliando y em x=0:
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Como y(0)=0, segue que
C_{1}=0.
Segundo, y'(0)=1. Avaliando y' em x=0:
y'(0) = -2C_{1}\sin(0)+2C_{2}\cos(0) = -2C_{1}\cdot 0 + 2C_{2}\cdot 1 = 2C_{2}.
Como y'(0)=1, temos
2C_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=\tfrac{1}{2} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=0\cdot\cos(2x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): calcular y' e y'' de y(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
y'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x),
y''(x)= -2\sin(2x).
Então
y''(x)+4y(x) = -2\sin(2x)+4\cdot\tfrac{1}{2}\sin(2x) = -2\sin(2x)+2\sin(2x)=0,
ou seja, satisfaz a ODE, e conforme já visto satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1. Tudo confere.

Resposta

\displaystyle y(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x)

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