Resolva pelo Método de D́Alembert para redução de ordem: t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime}+4 y=0, \quad y_{1}=t^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma solução conhecida:
t^{2}y''-3t y'+4y=0, \qquad y_{1}=t^{2}.
O que se pede é encontrar a solução geral da equação, usando o método de redução de ordem (D’Alembert), ou seja, achar uma segunda solução linearmente independente y_{2} e, então, a solução geral da forma
y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes que dependem de t.
Foi dada uma solução particular y_{1}(t)=t^{2}.
A solução geral deve conter duas constantes arbitrárias C_{1},C_{2}.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a equação com o coeficiente de y'' igual a 1 (dividindo por t^{2}, válido para t\neq0):
y''-\frac{3}{t}y'+\frac{4}{t^{2}}y=0.
Explicação curta: é conveniente ter a equação na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=0 para aplicar a técnica de redução de ordem de forma direta.
Passo 3
Idéia do método de redução de ordem (explicação didática e amigável): como já temos uma solução y_{1}, procuramos uma segunda solução da forma
y=v(t)\,y_{1}(t)=v(t)\,t^{2},
onde v(t) é uma função desconhecida. Isso transforma a ODE de segunda ordem numa equação para v que normalmente tem ordem menor (fica em geral de primeira ordem para v'). Para simplificar a álgebra costuma-se definir w(t)=v'(t) mais adiante.
Passo 4
Calcular y' e y'' para y=v(t)t^{2}, com contas totalmente mostradas:
y=v\,t^{2}.
Derivando:
y'=v' t^{2}+2t v,
pois derivada do produto: (v t^{2})' = v' t^{2} + v (t^{2})' = v' t^{2}+2t v.
Derivando de novo:
Detalhe: o termo 2t v' aparece duas vezes (uma de cada derivada), por isso soma para 4t v'.
Passo 5
Substituir y,y',y'' na equação original (na forma sem dividir por t^{2} ou já dividida; aqui usamos a forma original e simplificamos):
Substituindo em t^{2}y''-3t y'+4y obtemos
Observação didática: o termo C_{2}t^{2} é proporcional à solução conhecida y_{1}=t^{2}; o outro termo t^{2}\ln|t| é uma segunda solução linearmente independente.
Passo 8
Verificação rápida de independência (opcional, mas instrutivo): calcular o wronskiano de y_{1}=t^{2} e y_{2}=t^{2}\ln|t|:
Derivadas: