Resolva pelo Método de D́Alembert para redução de ordem:
t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime}+4 y=0, \quad y_{1}=t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma solução conhecida:
t^{2}y''-3t y'+4y=0, \qquad y_{1}=t^{2}.
O que se pede é encontrar a solução geral da equação, usando o método de redução de ordem (D’Alembert), ou seja, achar uma segunda solução linearmente independente y_{2} e, então, a solução geral da forma
y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes que dependem de t.
  • Foi dada uma solução particular y_{1}(t)=t^{2}.
  • A solução geral deve conter duas constantes arbitrárias C_{1},C_{2}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a equação com o coeficiente de y'' igual a 1 (dividindo por t^{2}, válido para t\neq0):
y''-\frac{3}{t}y'+\frac{4}{t^{2}}y=0.
Explicação curta: é conveniente ter a equação na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=0 para aplicar a técnica de redução de ordem de forma direta.

Passo 3

Idéia do método de redução de ordem (explicação didática e amigável): como já temos uma solução y_{1}, procuramos uma segunda solução da forma
y=v(t)\,y_{1}(t)=v(t)\,t^{2},
onde v(t) é uma função desconhecida. Isso transforma a ODE de segunda ordem numa equação para v que normalmente tem ordem menor (fica em geral de primeira ordem para v'). Para simplificar a álgebra costuma-se definir w(t)=v'(t) mais adiante.

Passo 4

Calcular y' e y'' para y=v(t)t^{2}, com contas totalmente mostradas:
y=v\,t^{2}.
Derivando:
y'=v' t^{2}+2t v,
pois derivada do produto: (v t^{2})' = v' t^{2} + v (t^{2})' = v' t^{2}+2t v.
Derivando de novo:
y''=(v' t^{2}+2t v)'=v'' t^{2}+2t v'+2v+2t v' = v'' t^{2}+4t v'+2v.
Detalhe: o termo 2t v' aparece duas vezes (uma de cada derivada), por isso soma para 4t v'.

Passo 5

Substituir y,y',y'' na equação original (na forma sem dividir por t^{2} ou já dividida; aqui usamos a forma original e simplificamos):
Substituindo em t^{2}y''-3t y'+4y obtemos
t^{2}\big(v'' t^{2}+4t v'+2v\big)-3t\big(v' t^{2}+2t v\big)+4(v t^{2}).
Agora expandir termo a termo:
t^{2}\cdot v'' t^{2}=v'' t^{4}, \qquad t^{2}\cdot 4t v'=4 v' t^{3}, \qquad t^{2}\cdot 2v=2v t^{2},
-3t\cdot v' t^{2}=-3 v' t^{3}, \qquad -3t\cdot 2t v=-6 v t^{2}, \qquad 4 v t^{2}=4 v t^{2}.
Somando todos os termos:
v'' t^{4} + (4v' t^{3}-3v' t^{3}) + (2v t^{2}-6v t^{2}+4v t^{2}).
Agrupando:
v'' t^{4} + v' t^{3} + 0.
Portanto a equação reduz-se a
v'' t^{4} + v' t^{3}=0.
Fatorando t^{3} (e lembrando t\neq0):
t^{3}\big(t v'' + v'\big)=0 \quad\Rightarrow\quad t v'' + v' = 0.

Passo 6

Reduzir a ordem definindo w(t)=v'(t). Então w'(t)=v''(t). Substituindo na equação obtida:
t w' + w = 0.
Esta é uma equação de primeira ordem para w, linear e também separável. Reescrevendo como separado:
\frac{w'}{w} = -\frac{1}{t}.
Integrando ambos os lados em t:
\int \frac{w'}{w}\,dt = \int -\frac{1}{t}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|w| = -\ln|t| + C_{1}.
Exponentiando:
w(t)=v'(t)=C_{1}\,t^{-1}=\frac{C_{1}}{t},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 7

Integrar v'(t)=\dfrac{C_{1}}{t} para achar v(t):
v(t)=\int \frac{C_{1}}{t}\,dt = C_{1}\ln|t| + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Lembrando que y=v t^{2}, obtemos a forma geral de y:
y(t)=t^{2}\big(C_{1}\ln|t| + C_{2}\big) = C_{1} t^{2}\ln|t| + C_{2} t^{2}.
Observação didática: o termo C_{2}t^{2} é proporcional à solução conhecida y_{1}=t^{2}; o outro termo t^{2}\ln|t| é uma segunda solução linearmente independente.

Passo 8

Verificação rápida de independência (opcional, mas instrutivo): calcular o wronskiano de y_{1}=t^{2} e y_{2}=t^{2}\ln|t|:
Derivadas:
y_{1}'=2t, \qquad y_{2}'=2t\ln|t|+t.
O wronskiano é
W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix} t^{2} & t^{2}\ln|t| \\[4pt] 2t & 2t\ln|t|+t \end{vmatrix} = t^{2}\big(2t\ln|t|+t\big) - t^{2}\ln|t|\cdot 2t = t^{3},
que é diferente de zero para t\neq0; portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]

Resposta

y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{2}\ln|t|\quad (t\neq0)

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