Resolva pelo Método de D́Alembert para redução de ordem:
,
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida:
- Equação:
- Uma solução conhecida:
O que se pede: encontrar a solução geral da equação usando o Método de D’Alembert (redução de ordem), isto é, obter uma segunda solução linearmente independente de
e então a solução geral.
Passo 2
Ideia do Método de D’Alembert (redução de ordem), explicada passo a passo e sem pular etapas.
- Hipótese: como já conhecemos uma solução
procuramos a segunda solução na forma
onde
é uma função a determinar.
- Derivadas de
. Calcula-se e usando a regra do produto:
- Substituir em
. Ao substituir e agrupar os termos em , e obtemos
Agrupando os termos em
e usando que
é solução da equação original (ou seja,
), o termo multiplicando
se anula. Sobram os termos com
e
:
- Redução da ordem: definindo
(isso reduz a ordem porque satisfaz uma equação de primeira ordem),
temos
Escrevendo como equação linear em
:
- Resolver para
(equação separável/linear). Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
portanto
- Integrar
para obter :
A segunda solução independente é então
onde constantes multiplicativas podem ser ajustadas (uma constante aditiva na integral gera um múltiplo de
, que não dá novidade).
Essa é a fórmula geral do método de redução de ordem para equações da forma
quando se conhece uma solução
.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso concreto com
.
- Calcular
:
-
Formar a integranda
-
Integrar:
- Tomando a constante de integração que dá apenas múltiplos de
como zero (para obter uma segunda solução independente), escolhe-se a primitiva particular . Então
- Obter
:
Como qualquer múltiplo não-nulo de uma solução também é solução, podemos retirar o fator
e tomar simplesmente
Passo 4
Obter a solução geral: como
e
são linearmente independentes, a solução geral da equação é
com
constantes arbitrárias.
(Mini verificação rápida: as raízes da equação característica
são
e
, consistentes com as soluções encontradas.)