Resolva pelo Método de D́Alembert para redução de ordem:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0, y_{1}=e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida:
  • Equação: y'' - y' - 2y = 0.
  • Uma solução conhecida: y_{1} = e^{2t}.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação usando o Método de D’Alembert (redução de ordem), isto é, obter uma segunda solução linearmente independente de \,y_{1}\, e então a solução geral.

Passo 2

Ideia do Método de D’Alembert (redução de ordem), explicada passo a passo e sem pular etapas.
  1. Hipótese: como já conhecemos uma solução \,y_{1}(t)\,, procuramos a segunda solução na forma
y(t)=v(t)\,y_{1}(t),
onde v(t) é uma função a determinar.
  1. Derivadas de y. Calcula-se y' e y'' usando a regra do produto:
y' = v' y_{1} + v y_{1}',
y'' = v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' + v y_{1}''.
  1. Substituir em \,y''-y'-2y=0\,. Ao substituir e agrupar os termos em v, v' e v'' obtemos
v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' + v y_{1}'' - \bigl(v' y_{1} + v y_{1}'\bigr) - 2 v y_{1} = 0.
Agrupando os termos em v e usando que y_{1} é solução da equação original (ou seja, y_{1}''-y_{1}'-2y_{1}=0), o termo multiplicando v se anula. Sobram os termos com v'' e v':
v'' y_{1} + v' \bigl(2 y_{1}' - y_{1}\bigr) = 0.
  1. Redução da ordem: definindo u(t)=v'(t) (isso reduz a ordem porque u satisfaz uma equação de primeira ordem),
    temos
u' y_{1} + u\bigl(2 y_{1}' - y_{1}\bigr)=0.
Escrevendo como equação linear em u:
u' + u\left(\frac{2 y_{1}'}{y_{1}} - 1\right)=0.
  1. Resolver para u (equação separável/linear). Separando variáveis:
\frac{u'}{u} = -\left(\frac{2 y_{1}'}{y_{1}} - 1\right).
Integrando ambos os lados:
\ln |u| = -2\ln |y_{1}| + t + C,
portanto
u(t)=v'(t)=C\,\frac{e^{t}}{y_{1}(t)^{2}}.
  1. Integrar u para obter v:
v(t)=\int u(t)\,dt = C\int \frac{e^{t}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt + C_2.
A segunda solução independente é então
y_{2}(t)=y_{1}(t)\,v(t)=y_{1}(t)\left(\int \frac{e^{t}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt\right),
onde constantes multiplicativas podem ser ajustadas (uma constante aditiva na integral gera um múltiplo de y_{1}, que não dá novidade).
Essa é a fórmula geral do método de redução de ordem para equações da forma \,y''+p(t)y'+q(t)y=0\, quando se conhece uma solução y_1.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso concreto com \,y_{1}(t)=e^{2t}.
  1. Calcular y_{1}(t)^{2}:
y_{1}(t)^{2} = e^{4t}.
  1. Formar a integranda \dfrac{e^{t}}{y_{1}^{2}} = \dfrac{e^{t}}{e^{4t}} = e^{-3t}.
  2. Integrar:
\int e^{-3t}\,dt = -\frac{1}{3} e^{-3t} + \text{const}.
  1. Tomando a constante de integração que dá apenas múltiplos de y_{1} como zero (para obter uma segunda solução independente), escolhe-se a primitiva particular -\dfrac{1}{3}e^{-3t}. Então
v(t) = -\frac{1}{3} e^{-3t}.
  1. Obter y_{2}:
y_{2}(t)=y_{1}(t)\,v(t)=e^{2t}\left(-\frac{1}{3} e^{-3t}\right) = -\frac{1}{3} e^{-t}.
Como qualquer múltiplo não-nulo de uma solução também é solução, podemos retirar o fator -\tfrac{1}{3} e tomar simplesmente
y_{2}(t)=e^{-t}.

Passo 4

Obter a solução geral: como y_{1}=e^{2t} e y_{2}=e^{-t} são linearmente independentes, a solução geral da equação é
y(t)=C_{1} e^{2t} + C_{2} e^{-t},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
(Mini verificação rápida: as raízes da equação característica \,r^{2}-r-2=0\, são r=2 e r=-1, consistentes com as soluções encontradas.)

Resposta

y(t)=C_{1} e^{2t} + C_{2} e^{-t}

Exercícios relacionados