Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
y^prime prime+5 y^prime+4 y=e^2 x

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 5y' + 4y = e^2x, y(0)=1,;y'(0)=2
e pede a solução y(x) usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada em cada termo da EDO, usar as condições iniciais para obter Y(s)=Ly(x) e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos Lcdot na EDO. Lembrando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Le^2x=1s-2,
temos
l(s^2Y - scdot1 - 2r) +5l(sY - 1r) +4Y = 1s-2

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) e constantes:
(s^2 +5s+4)Y - (s+2+5) = 1s-2 Longrightarrow (s^2+5s+4)Y = 1s-2 + (s+7)
Como s^2+5s+4=(s+1)(s+4),
Y(s) = 1s-2 + (s+7)(s+1)(s+4) = 1(s-2)(s+1)(s+4) + s+7(s+1)(s+4)

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada parcela. Primeiro
s+7(s+1)(s+4) = 2s+1 - 1s+4
Depois
1(s-2)(s+1)(s+4) = As-2 + Bs+1 + Cs+4,
onde cálculo de resíduos dá A=tfrac118, B=-tfrac19, C=tfrac118. Assim
Y(s) = 1181s-2 - 191s+1 + 1181s+4 + 2s+1 - 1s+4
Reagrupando coeficientes:
Y(s) = 1181s-2 + 1791s+1 - 17181s+4

Passo 5

Invertemos a transformada termo a termo:
L^-1!ltfrac1s-2r=e^2x, L^-1!ltfrac1s+1r=e^-x, L^-1!ltfrac1s+4r=e^-4x
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y(x) = 118e^2x + 179e^-x - 1718e^-4x

Resposta

y(x) = 118,e^2x + 179,e^-x - 1718,e^-4x

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