Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=sen x ; y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem
y'' + y = sin x,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2. Vamos usar transformada de Laplace para converter a equação diferencial em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s)=Ly(x)(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(x).

Passo 2

Aplicamos L em cada termo de y''+y=sin x. Usamos
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-0-2
e
Ly(s)=Y(s),
além de
Lsin x(s)=1s^2+1
Logo tomando transformada em ambos os lados da EDO, obtemos
s^2Y(s)-2 + Y(s) ;=;1s^2+1

Passo 3

Reunindo os termos em Y(s),
(s^2+1),Y(s)=2+1s^2+1,
portanto
Y(s)=2s^2+1 ;+;1(s^2+1)^2

Passo 4

Agora decompomos Y(s) em parcelas cujo inverso de Laplace é conhecido:
2s^2+1long<=ftrightarrow2sin x,
1(s^2+1)^2long<=ftrightarrow12l(sin x - xcos xr)

Passo 5

Somando as duas partes, a solução no domínio do tempo é
y(x)=2sin x + 12(sin x - xcos x) =52sin x - x2cos x

Resposta

y(x)=52sin x - x2cos x.

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