Prove a existência do limite e a continuidade das funções
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= 2, & x<1, -1, & x=1, 3, & x>1,
e pede que a gente prove onde existem limites de f e onde ela é contínua. O conteúdo usado será a definição de limite de uma função e de continuidade pontual.
Passo 2
Seja x0<1. Então existe um raio pequeno de<a>0 tal que, para todo x com lvert x - x0rvert<de<a, ainda vale x<1. Nessa vizinhança temos sempre
f(x)=2
Logo, para qualquer varepsilon>0 basta escolher de<a como acima para garantir
lvert f(x)-2rvert = lvert 2-2rvert =0<varepsilon
Isso mostra que
limxto x0f(x)=2
e, como f(x0)=2, temos continuidade em todo x0<1.
Passo 3
Seja x0>1. Analogamente, existe de<a>0 tal que lvert x-x0rvert<de<a implica x>1, e então
f(x)=3
nessa vizinhança. Com o mesmo raciocínio de definição de limite, obtemos
limxto x0f(x)=3
e, como f(x0)=3, f é contínua em todo x0>1.
Passo 4
Agora em x0=1 calculamos os limites laterais.
Pela esquerda:
limxto1^-f(x)=2,
pois para x<1 próximo de 1 vale f(x)=2.
Pela direita:
limxto1^+f(x)=3,
pois para x>1 próximo de 1 vale f(x)=3.
Como 2neq3, o limite bilateral limxto1f(x)não existe, e portanto f não é contínua em x=1.