Verifique que é exata e resolva.
\left(y-x^{3}\right) d x+\left(y^{3}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y-x^{3}\right)\,dx+\left(y^{3}+x\right)\,dy=0
e pede duas coisas: verificar que a equação é exata e, em seguida, resolver (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=y-x^{3},\qquad N(x,y)=y^{3}+x.
Não estou pedindo nada a você — só organizando os dados para começar.

Passo 2

O que significa checar se a equação é exata? Uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática (necessária e suficiente quando M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular essas derivadas parciais para nossa M e N.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(y-x^{3}\right)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(y^{3}+x\right)=1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=1, a equação é exata. (Observação: as derivadas parciais são polinomiais, portanto contínuas em todo \mathbb{R}^2, então existe mesmo \Phi localmente e globalmente.)

Passo 3

Agora, para achar a solução, procuro uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=y-x^{3}.
Integro M em relação a x, tratando y como constante. Isso gera uma primitiva em x mais uma “constante” que pode depender de y:
\Phi(x,y)=\int (y-x^{3})\,dx = \int y\,dx - \int x^{3}\,dx = xy-\frac{x^{4}}{4}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (porque derivando \Phi em relação a x essa função desapareceria).
Explicando mais devagar: ao integrar em x, y é tratado como constante, por isso \int y\,dx = yx. A função h(y) aparece porque a primitiva em x está definida até uma função que dependa só de y.

Passo 4

Agora uso a outra condição \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar h(y). Calculo \Phi_{y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(xy-\frac{x^{4}}{4}+h(y)\right)=x+h'(y).
Devemos ter \Phi_{y}=N, isto é
x+h'(y)=y^{3}+x.
Cancelando os x dos dois lados obtemos
h'(y)=y^{3}.
Agora integro em relação a y:
h(y)=\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Podemos absorver C_{0} na constante final da solução implícita, então não precisamos mantê-la separada.

Passo 5

Substituo h(y) em \Phi(x,y). Fica
\Phi(x,y)=xy-\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
ou seja
xy-\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}=C,
onde C é constante arbitrária. Se você preferir uma forma sem frações, multiplico por 4:
4xy-x^{4}+y^{4}=C',
com C'=4C.

Resposta

xy-\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}=C

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