Verifique que é exata e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: verificar que a equação é exata e, em seguida, resolver (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não estou pedindo nada a você — só organizando os dados para começar.
Passo 2
O que significa checar se a equação é exata? Uma equação na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática (necessária e suficiente quando
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio) é verificar se
Vou calcular essas derivadas parciais para nossa
e
.
Calculemos:
Como
, a equação é exata. (Observação: as derivadas parciais são polinomiais, portanto contínuas em todo
, então existe mesmo
localmente e globalmente.)
Passo 3
Agora, para achar a solução, procuro uma função
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante. Isso gera uma primitiva em
mais uma “constante” que pode depender de
:
onde
é uma função arbitrária de
(porque derivando
em relação a
essa função desapareceria).
Explicando mais devagar: ao integrar em
,
é tratado como constante, por isso
. A função
aparece porque a primitiva em
está definida até uma função que dependa só de
.
Passo 4
Agora uso a outra condição
para determinar
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
, isto é
Cancelando os
dos dois lados obtemos
Agora integro em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita, então não precisamos mantê-la separada.
Passo 5
Substituo
em
. Fica
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
ou seja
onde
é constante arbitrária. Se você preferir uma forma sem frações, multiplico por
:
com
.