Analise a continuidade das funções nos intervalos dados:
r(x)=\operatorname{sec} x em [-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função r(x)=\operatorname{sec} x no intervalo [- \pi,\pi].
Informações dadas:
  • A função é r(x)=\operatorname{sec} x.
  • O intervalo a examinar é [- \pi,\pi].
  • A tarefa é indicar onde r é contínua e onde não é contínua nesse intervalo (incluindo comportamento nas extremidades e nos pontos onde possa falhar).

Passo 2

Determinar onde r(x)=\operatorname{sec} x está definida. Lembrando a definição,
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Logo r(x) está definida exatamente nos pontos onde \cos x\neq 0. As soluções de \cos x=0 são os pontos
x=\frac{(2k+1)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dentro do intervalo [- \pi,\pi] esses pontos são
x=-\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{\pi}{2}.
Portanto r não está nem definida em \pm\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Fato importante sobre continuidade (explicação didática): a função \cos x é contínua para todo x. Se g é contínua num ponto a e g(a)\neq 0, então a função 1/g também é contínua em a. Aplicando isso com g(x)=\cos x, concluímos que \operatorname{sec} x=1/\cos x é contínua em todo ponto onde \cos x\neq 0. Em outras palavras, a continuidade de \operatorname{sec} x se reduz a excluir os pontos onde \cos x=0.

Passo 4

Usando o raciocínio do passo anterior, dentro de [- \pi,\pi] a função \operatorname{sec} x será contínua em todos os pontos exceto onde \cos x=0. Assim, os subconjuntos de continuidade (intervalos onde \operatorname{sec} está definida e contínua) são
[-\pi,-\tfrac{\pi}{2})\,,\qquad (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\,,\qquad (\tfrac{\pi}{2},\pi].
Note que nos extremos -\pi e \pi a função está definida (pois \cos(\pm\pi)=-1\neq0) e, como é interiormente contínua e as únicas exigências nas extremidades são as semicontinuidade apropriadas, esses pontos são pontos de continuidade unilaterais aceitáveis (ver passo 6).

Passo 5

Examinar o comportamento em x=\tfrac{\pi}{2} (ponto onde \cos se anula). Uma forma prática de ver o comportamento dos limites é usar a aproximação linear de \cos perto de \tfrac{\pi}{2}. Como \cos' x=-\sin x e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1, tem-se
\cos x \approx -1\cdot\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\quad\text{para }x\text{ próximo de }\tfrac{\pi}{2}.ó
Assim
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}\approx -\frac{1}{x-\tfrac{\pi}{2}}.
Dessa aproximação seguem-se os limites unilaterais:
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\operatorname{sec} x=+\infty,\qquad \lim_{x\to(\pi/2)^+}\operatorname{sec} x=-\infty.
Portanto em x=\tfrac{\pi}{2} a função tem um assimptoto vertical e é descontínua (de fato não está definida ali).

Passo 6

Examinar o comportamento em x=-\tfrac{\pi}{2}. Calculando a derivada de \cos em -\tfrac{\pi}{2}: \cos'(-\tfrac{\pi}{2})=-\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-(-1)=1. Logo, para x perto de -\tfrac{\pi}{2},
\cos x \approx 1\cdot\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr),
e
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}\approx \frac{1}{x+\tfrac{\pi}{2}}.
Assim os limites unilaterais são
\lim_{x\to(-\pi/2)^-}\operatorname{sec} x=-\infty,\qquad \lim_{x\to(-\pi/2)^+}\operatorname{sec} x=+\infty.
Novamente há assimptoto vertical e x=-\tfrac{\pi}{2} é ponto de descontinuidade (função não definida ali).

Passo 7

Verificação das extremidades -\pi e \pi: como \cos(\pm\pi)=-1\neq 0, tem-se \operatorname{sec}(\pm\pi)=-1. Pelo fato de \cos (e portanto 1/\cos) ser contínua em vizinhança desses pontos, os limites laterais existentes coincidem com os valores da função:
\lim_{x\to(-\pi)^+}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec}(-\pi)=-1,\qquad \lim_{x\to\pi^-}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec}(\pi)=-1.
Assim -\pi e \pi são pontos de continuidade (considerando as semicontinuidades exigidas nas extremidades do intervalo fechado).

Passo 8

Conclusão final, em linguagem clara e prática: r(x)=\operatorname{sec} x é contínua em todos os pontos de [- \pi,\pi] onde está definida, e é descontinua exatamente nos pontos onde \cos x=0, isto é em x=\pm\tfrac{\pi}{2}. Em \pm\tfrac{\pi}{2} ocorrem assimptotos verticais (os limites laterais divergem para \pm\infty).

Resposta

r(x)=\operatorname{sec} x é contínua em [-\pi,-\tfrac{\pi}{2})\cup(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2},\pi] e é descontínua (não definida) em \left\{-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right\}.

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