Analise a continuidade das funções nos intervalos dados:
em
Passo 1
O enunciado pede para analisar a continuidade da função
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo a examinar é
. - A tarefa é indicar onde
é contínua e onde não é contínua nesse intervalo (incluindo comportamento nas extremidades e nos pontos onde possa falhar).
Passo 2
Determinar onde
está definida. Lembrando a definição,
Logo
está definida exatamente nos pontos onde
. As soluções de
são os pontos
Dentro do intervalo
esses pontos são
Portanto
não está nem definida em
.
Passo 3
Fato importante sobre continuidade (explicação didática): a função
é contínua para todo
. Se
é contínua num ponto
e
, então a função
também é contínua em
. Aplicando isso com
, concluímos que
é contínua em todo ponto onde
. Em outras palavras, a continuidade de
se reduz a excluir os pontos onde
.
Passo 4
Usando o raciocínio do passo anterior, dentro de
a função
será contínua em todos os pontos exceto onde
. Assim, os subconjuntos de continuidade (intervalos onde
está definida e contínua) são
Note que nos extremos
e
a função está definida (pois
) e, como é interiormente contínua e as únicas exigências nas extremidades são as semicontinuidade apropriadas, esses pontos são pontos de continuidade unilaterais aceitáveis (ver passo 6).
Passo 5
Examinar o comportamento em
(ponto onde
se anula). Uma forma prática de ver o comportamento dos limites é usar a aproximação linear de
perto de
. Como
e
, tem-se
Assim
Dessa aproximação seguem-se os limites unilaterais:
Portanto em
a função tem um assimptoto vertical e é descontínua (de fato não está definida ali).
Passo 6
Examinar o comportamento em
. Calculando a derivada de
em
:
. Logo, para
perto de
,
e
Assim os limites unilaterais são
Novamente há assimptoto vertical e
é ponto de descontinuidade (função não definida ali).
Passo 7
Verificação das extremidades
e
: como
, tem-se
. Pelo fato de
(e portanto
) ser contínua em vizinhança desses pontos, os limites laterais existentes coincidem com os valores da função:
Assim
e
são pontos de continuidade (considerando as semicontinuidades exigidas nas extremidades do intervalo fechado).
Passo 8
Conclusão final, em linguagem clara e prática:
é contínua em todos os pontos de
onde está definida, e é descontinua exatamente nos pontos onde
, isto é em
. Em
ocorrem assimptotos verticais (os limites laterais divergem para
).