Esboce o campo vetorial \vec{F}.
(b) \vec{F}(x, y)=\frac{y \vec{i}-x \vec{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Pede: esboçar o campo vetorial \vec{F}.
  • Campo dado: \displaystyle \vec{F}(x,y)=\frac{y\,\vec{i}-x\,\vec{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: a fórmula explícita de \vec{F} em termos de x e y, e que o denominador é \sqrt{x^{2}+y^{2}} (ou seja, fica indefinido em (0,0)).

Passo 2

Trocar para coordenadas polares para entender a direção e o módulo.
  • Lembrete rápido de polares: em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.
  • Substituindo em \vec{F}:
\vec{F}(x,y)=\frac{y\,\vec{i}-x\,\vec{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{r\sin\theta\,\vec{i}-r\cos\theta\,\vec{j}}{r} =(\sin\theta)\,\vec{i}+(-\cos\theta)\,\vec{j}.
  • Conclusão direta: em termos de \theta,
\vec{F}(r,\theta)=(\sin\theta)\,\vec{i}-(\cos\theta)\,\vec{j}.
  • Agora defina os versores polares para interpretar a direção:
\hat{r}=(\cos\theta)\,\vec{i}+(\sin\theta)\,\vec{j},\qquad \hat{\theta}=(-\sin\theta)\,\vec{i}+(\cos\theta)\,\vec{j}.
  • Observe que
\vec{F}(r,\theta)=(\sin\theta)\,\vec{i}-(\cos\theta)\,\vec{j}=-\hat{\theta}.
Isto é, \vec{F} é exatamente -\hat{\theta} para todo r>0.

Passo 3

O que significa \vec{F}=-\hat{\theta}: módulo, direção e sentido.
  • Módulo: como \hat{\theta} é um versor (tem módulo 1), então para r>0
\|\vec{F}(x,y)\|=\|-\hat{\theta}\|=1.
Logo todos os vetores têm comprimento 1 (unidade) independentemente da distância ao centro.
  • Direção: \hat{\theta} é tangente às circunferências centradas na origem; portanto \vec{F} é tangencial às circunferências centradas na origem.
  • Sentido: -\hat{\theta} é o sentido oposto a \hat{\theta}. Como \hat{\theta} corresponde ao sentido anti-horário, -\hat{\theta} corresponde ao sentido horário. Logo \vec{F} aponta tangencialmente no sentido horário.
  • Observação sobre a origem: em (0,0) temos r=0 e a fórmula original tem divisão por 0; portanto \vec{F} é indefinido em (0,0).

Passo 4

Verificação em pontos particulares (para desenhar no papel, calcule alguns vetores).
  • Em (1,0) temos x=1,y=0,r=1. Então
\vec{F}(1,0)=\frac{0\cdot\vec{i}-1\cdot\vec{j}}{1}=-\vec{j}=(0,-1).
(um vetor de módulo 1 apontando para baixo).
  • Em (0,1):
\vec{F}(0,1)=\frac{1\cdot\vec{i}-0\cdot\vec{j}}{1}= \vec{i}=(1,0).
(um vetor apontando para a direita).
  • Em (-1,0):
\vec{F}(-1,0)=\frac{0\cdot\vec{i}-(-1)\vec{j}}{1}=+\vec{j}=(0,1).
(um vetor apontando para cima).
  • Em (0,-1):
\vec{F}(0,-1)=\frac{-1\cdot\vec{i}-0\cdot\vec{j}}{1}=-\vec{i}=(-1,0).
(um vetor apontando para a esquerda).
  • Em (1,1) (para ver um caso genérico): r=\sqrt{2}, então
\vec{F}(1,1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
um vetor de módulo 1 apontando na direção sudeste — tangente à circunferência e no sentido horário.
Esses valores confirmam que todos os vetores têm mesmo comprimento e são tangentes às circunferências, orientados no sentido horário.

Passo 5

Como esboçar graficamente no caderno/prova — procedimento passo a passo.
  1. Desenhe alguns círculos concêntricos centrados na origem (por exemplo raios r=1,2,3 — só para referência).
  2. Em cada círculo escolha alguns pontos (por exemplo os quatro pontos cardeais e alguns intermediários).
  3. Em cada ponto desenhe um vetor tangente à circunferência, com comprimento igual (como visto, o módulo é 1); marque a ponta do vetor no sentido horário ao redor do círculo.
    • Ex.: no ponto (1,0) desenhe uma seta para baixo; em (0,1) uma seta para a direita; etc.
  4. Repita em várias circunferências: as setas ficam sempre tangentes, todas com o mesmo comprimento e todas orientadas no sentido horário.
  5. Marque claramente que em (0,0) o campo é indefinido (pode desenhar um pequeno círculo vazio ou uma cruz e escrever “indefinido”).
    Dica prática: não precisa medir exatamente o comprimento 1 no desenho; o importante é desenhar todas as setas do mesmo tamanho e tangentes às circunferências.

Passo 6

Propriedades importantes que ajudam a interpretar o esboço (úteis na prova).
  • Orthogonalidade ao raio: para o vetor posição \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} tem-se
\vec{F}\cdot\vec{r}=\frac{y\,x - x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0,
logo \vec{F} é ortogonal a \vec{r} em todo ponto r>0 — confirma que é tangencial.
  • Linhas de fluxo (trajetórias integrais) são circunferências centradas na origem: se seguir o campo, descreve-se uma volta circular no sentido horário.
  • Singularidade no centro: campo não definido em (0,0); perto da origem as setas continuam tangenciais e de mesma magnitude.

Resposta

O campo é tangencial às circunferências centradas na origem, de módulo 1 e sentido horário; é indefinido em (0,0).

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