Esboce o campo vetorial
.
(b)
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
- Pede: esboçar o campo vetorial
. - Campo dado:
- Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: a fórmula explícita de
em termos de e , e que o denominador é (ou seja, fica indefinido em ).
Passo 2
Trocar para coordenadas polares para entender a direção e o módulo.
- Lembrete rápido de polares: em coordenadas polares usamos
, e . - Substituindo em
:
- Conclusão direta: em termos de
,
- Agora defina os versores polares para interpretar a direção:
- Observe que
Isto é,
é exatamente
para todo
.
Passo 3
O que significa
: módulo, direção e sentido.
- Módulo: como
é um versor (tem módulo ), então para
Logo todos os vetores têm comprimento
(unidade) independentemente da distância ao centro.
- Direção:
é tangente às circunferências centradas na origem; portanto é tangencial às circunferências centradas na origem. - Sentido:
é o sentido oposto a . Como corresponde ao sentido anti-horário, corresponde ao sentido horário. Logo aponta tangencialmente no sentido horário. - Observação sobre a origem: em
temos e a fórmula original tem divisão por ; portanto é indefinido em .
Passo 4
Verificação em pontos particulares (para desenhar no papel, calcule alguns vetores).
- Em
temos . Então
(um vetor de módulo
apontando para baixo).
- Em
:
(um vetor apontando para a direita).
- Em
:
(um vetor apontando para cima).
- Em
:
(um vetor apontando para a esquerda).
- Em
(para ver um caso genérico): , então
um vetor de módulo
apontando na direção sudeste — tangente à circunferência e no sentido horário.
Esses valores confirmam que todos os vetores têm mesmo comprimento e são tangentes às circunferências, orientados no sentido horário.
Esses valores confirmam que todos os vetores têm mesmo comprimento e são tangentes às circunferências, orientados no sentido horário.
Passo 5
Como esboçar graficamente no caderno/prova — procedimento passo a passo.
- Desenhe alguns círculos concêntricos centrados na origem (por exemplo raios
— só para referência). - Em cada círculo escolha alguns pontos (por exemplo os quatro pontos cardeais e alguns intermediários).
- Em cada ponto desenhe um vetor tangente à circunferência, com comprimento igual (como visto, o módulo é
); marque a ponta do vetor no sentido horário ao redor do círculo. - Ex.: no ponto
desenhe uma seta para baixo; em uma seta para a direita; etc.
- Ex.: no ponto
- Repita em várias circunferências: as setas ficam sempre tangentes, todas com o mesmo comprimento e todas orientadas no sentido horário.
- Marque claramente que em
o campo é indefinido (pode desenhar um pequeno círculo vazio ou uma cruz e escrever “indefinido”).
Dica prática: não precisa medir exatamente o comprimentono desenho; o importante é desenhar todas as setas do mesmo tamanho e tangentes às circunferências.
Passo 6
Propriedades importantes que ajudam a interpretar o esboço (úteis na prova).
- Orthogonalidade ao raio: para o vetor posição
tem-se
logo
é ortogonal a
em todo ponto
— confirma que é tangencial.
- Linhas de fluxo (trajetórias integrais) são circunferências centradas na origem: se seguir o campo, descreve-se uma volta circular no sentido horário.
- Singularidade no centro: campo não definido em
; perto da origem as setas continuam tangenciais e de mesma magnitude.
Resposta
O campo é tangencial às circunferências centradas na origem, de módulo
e sentido horário; é indefinido em
.