Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
.
O que acontece com a solução com condições iniciais
e
?
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo: redução de ordem via e equação exata em
e
.
Conteúdo: redução de ordem via
Passo 2
Defina
. Então
e a equação fica
Escrevendo em forma diferencial
Verificamos que é exata porque
e
.
Passo 3
Buscamos um potencial
tal que
e
.
Integramos
Integramos
Como
, conclui-se
e
Logo a solução implícita é
ou seja
Passo 4
Aplicamos
. Em
,
dá
Assim a relação entre
e
é
As duas raízes são
ou
Passo 5
Como queremos uma solução contínua com
e num intervalo que contenha
, a única escolha compatível pelo teorema de unicidade (pois
em
) é
Usando
resulta
Passo 6
Se trocarmos para as condições
,
, então em
temos
. A equação original perde o termo de maior ordem e vira
, logo não há unicidade. Podemos, por exemplo, escolher arbitrariamente
e combinar os ramos
ou
em qualquer vizinhança de
. Isso significa que existem infinitas soluções que satisfazem
,
.
Resposta
A solução com
,
é
Com as condições
,
a equação é singular em
e não há unicidade: surgem infinitas soluções.