Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
\quad\left(x^{2}+2 y^{\prime}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}=0 ;\quad y^{\prime}(1)=0 ;\quad y(1)=1.
O que acontece com a solução com condições iniciais y^{\prime}(0)=0 e y(0)=1 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem
\bigl(x^{2}+2\,y'\bigr)\,y''+2\,x\,y'=0
com as condições iniciais \,y'(1)=0 e \,y(1)=1.
Conteúdo: redução de ordem via p=y' e equação exata em x e p.

Passo 2

Defina p(x)=y'(x). Então p'=y'' e a equação fica
\bigl(x^{2}+2\,p\bigr)\,p'+2\,x\,p=0.
Escrevendo em forma diferencial
\bigl(x^{2}+2\,p\bigr)\,dp+2\,x\,p\,dx=0.
Verificamos que é exata porque \partial/\partial p\,[2x\,p]=2x e \partial/\partial x\,[x^{2}+2p]=2x.

Passo 3

Buscamos um potencial F(x,p) tal que \partial F/\partial x=2x\,p e \partial F/\partial p=x^{2}+2p.
Integramos
F(x,p)=\int 2x\,p\,dx=x^{2}p+h(p).
Como \partial F/\partial p=x^{2}+h'(p)=x^{2}+2p, conclui-se h'(p)=2p e
h(p)=p^{2}+\text{const}.
Logo a solução implícita é
F(x,p)=x^{2}p+p^{2}=C,
ou seja
p^{2}+x^{2}p-C=0.

Passo 4

Aplicamos y'(1)=0. Em x=1, p(1)=0
0^{2}+1^{2}\cdot0-C=0\quad\Longrightarrow\quad C=0.
Assim a relação entre p e x é
p^{2}+x^{2}p=0 \quad\Longrightarrow\quad p\,(p+x^{2})=0.
As duas raízes são \,p=0 ou \,p=-x^{2}.

Passo 5

Como queremos uma solução contínua com p(1)=0 e num intervalo que contenha x=1, a única escolha compatível pelo teorema de unicidade (pois x^{2}+2p\neq0 em x=1) é
y'(x)=p(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\text{const}.
Usando y(1)=1 resulta
y(x)=1.

Passo 6

Se trocarmos para as condições y'(0)=0, y(0)=1, então em x=0 temos x^{2}+2p=0. A equação original perde o termo de maior ordem e vira 0=0, logo não há unicidade. Podemos, por exemplo, escolher arbitrariamente y''(0) e combinar os ramos p=0 ou p=-x^{2} em qualquer vizinhança de 0. Isso significa que existem infinitas soluções que satisfazem y(0)=1, y'(0)=0.

Resposta

A solução com y'(1)=0, y(1)=1 é
y(x)=1.
Com as condições y'(0)=0, y(0)=1 a equação é singular em x=0 e não há unicidade: surgem infinitas soluções.

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