Resolva por esse método as seguintes equações:
x^{2} y^{\prime \prime}=2 x y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segunda ordem
x^{2}y''=2x\,y'+(y')^{2}
e pede a solução geral. Vamos usar redução de ordem definindo
p(x)=y'(x)
para transformar em uma equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Como y''=dp/dx, substituímos na equação original:
x^{2}\frac{dp}{dx}=2x\,p+p^{2}
ou seja
\frac{dp}{dx}=\frac{2p}{x}+\frac{p^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma equação que depende de p/x. Fazemos a substituição
u(x)=\frac{p(x)}{x}.
Então
p= x\,u,\quad \frac{dp}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituindo em \tfrac{dp}{dx}=\tfrac{2p}{x}+\tfrac{p^{2}}{x^{2}} obtemos
u + x\frac{du}{dx} = 2u + u^{2}
que simplifica para
x\frac{du}{dx}=u+u^{2}=u(1+u).

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{du}{u(1+u)}=\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}\Bigr)du=\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl|\frac{u}{1+u}\Bigr|=\ln|C_{1}x|.

Passo 6

Da relação \ln\!\bigl|u/(1+u)\bigr|=\ln|C_{1}x| segue
\frac{u}{1+u}=C_{1}x \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{C_{1}x}{1 - C_{1}x}.

Passo 7

Voltando a p e y:
u=\frac{p}{x} \quad\Longrightarrow\quad p=y'=\frac{C_{1}x^{2}}{1 - C_{1}x}.
Agora integramos
\frac{dy}{dx}=\frac{C_{1}x^{2}}{1 - C_{1}x}.

Passo 8

Fazendo divisão de polinômios:
\frac{C_{1}x^{2}}{1 - C_{1}x} =-x-\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}(1 - C_{1}x)}.
Logo
y=\int\Bigl(-x-\frac{1}{C_{1}}\Bigr)dx +\int\frac{dx}{C_{1}(1 - C_{1}x)}.

Passo 9

Calculando as integrais:
\int(-x)\,dx=-\frac{x^{2}}{2},\quad \int\Bigl(-\frac{1}{C_{1}}\Bigr)dx=-\frac{x}{C_{1}},\quad \int\frac{dx}{C_{1}(1 - C_{1}x)} =-\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|1 - C_{1}x\bigr|.
Assim a solução geral é
y(x) =-\frac{x^{2}}{2} -\frac{x}{C_{1}} -\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|1 - C_{1}x\bigr| +C_{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes de integração.

Resposta

y(x) =-\frac{x^{2}}{2} -\frac{x}{C_{1}} -\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|1 - C_{1}x\bigr| +C_{2},\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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