Determine a solução dos seguintes PVIs
cy^prime prime-18 y^prime=e^2 t y(0)=4, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' - 18,y' = e^2t, y(0)=4,;y'(0)=2
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (1) encontrar a solução complementar via equação característica e (2) uma solução particular por coeficientes indeterminados, e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 18,y' = 0
A equação característica é
r^2 - 18r = r(r - 18) = 0,
cujas raízes são r=0 e r=18. Logo a solução complementar é
yc(t) = C1 + C2 e^18t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do problema não homogêneo, escolhemos a forma
yp(t) = A e^2t,
pois o termo forçante é e^2t. Calculamos
yp'(t) = 2A e^2t, yp''(t) = 4A e^2t
Substituindo na EDO:
yp'' - 18,yp' = l(4A - 36Ar)e^2t = -32A,e^2t = e^2t
Logo -32A = 1, ou seja
A = -tfrac132,
e
yp(t) = -tfrac132 e^2t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yc(t) + yp(t) = C1 + C2 e^18t - tfrac132e^2t
Para ajustar as constantes, precisamos também de
y'(t) = 18C2 e^18t - tfrac232e^2t = 18C2 e^18t - tfrac116e^2t

Passo 5

Impondo as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1 + C2 - tfrac132 = 4, y'(0)=18C2 - tfrac116 = 2
Isso gera o sistema
C1 + C2 = 4 + tfrac132 = tfrac12932, 18C2 = 2 + tfrac116 = tfrac3316

Passo 6

Da segunda equação vem
C2 = tfrac331618 = 3316cdot18 = 1196
Substituindo na primeira:
C1 = tfrac12932 - tfrac1196 = tfrac387 - 1196 = tfrac37696 = tfrac4712

Passo 7

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t) = 4712 ;+;1196e^18t;-;132e^2t

Resposta

boxedy(t) = 4712 + 1196e^18t - 132e^2t

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