Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
integral(x^2+5 x+6) cos (2 x) d x=(x^2+5 x+62) sen(2 x)+(2 x+54) cos (2 x)-14 sen(2 x)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando integração por partes, que
I = integral (x^2+5x+6)cos(2x),dx
é igual à expressão
x^2+5x+62,sin(2x);+;2x+54,cos(2x);-;14,sin(2x)+C
O conteúdo envolve aplicação de integração por partes duas vezes e combinação de termos semelhantes.

Passo 2

Escolhemos na primeira parte
u = x^2+5x+6, dv = cos(2x),dx
logo
du = (2x+5),dx, v = integral cos(2x),dx = tfrac12sin(2x)
Logo,
I =l(x^2+5x+6r)cdottfrac12sin(2x) -tfrac12integral (2x+5)sin(2x),dx

Passo 3

Escrevemos
integral(2x+5)sin(2x),dx =2integral xsin(2x),dx ;+;5integral sin(2x),dx
Calculamos cada um separadamente.

Passo 4

Para integral xsin(2x),dx usamos outra partes com
u1=x, dv1=sin(2x),dx
du1=dx, v1=integral sin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)
Assim
integral xsin(2x),dx =-x2cos(2x) +12integral cos(2x),dx =-x2cos(2x) +14sin(2x)
E
integral sin(2x),dx = -12cos(2x)

Passo 5

Substituindo de volta em I:
I =x^2+5x+62sin(2x) -12l[,2l(-tfracx2cos(2x)+tfrac14sin(2x)r) +5l(-tfrac12cos(2x)r)r]+C
Simplificando:
I =x^2+5x+62sin(2x) +x2cos(2x) -14sin(2x) +54cos(2x) + C
Agrupando termos em cos(2x):
x2cos(2x)+54cos(2x) =2x+54cos(2x),
ficando justamente
I =x^2+5x+62sin(2x) +2x+54cos(2x) -14sin(2x) + C,
que coincide com a expressão proposta.

Resposta

A igualdade é válida.

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