Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
integral ln (4+x^2) d x=x ln (4+x^2)-2 x+4 arctg(x2)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
integral lnl(4+x^2r),dx = x lnl(4+x^2r) ;-;2x ;+;4,arctg!l(tfracx2r) ;+;C
usando o método de integração por partes.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = lnl(4+x^2r), dv = dx
Então
du = 2x4+x^2,dx, v = x

Passo 3

Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral lnl(4+x^2r),dx = x lnl(4+x^2r) - integral x cdot 2x4+x^2,dx
O integral que resta é
integral 2x^24+x^2,dx

Passo 4

Fazemos a divisão algébrica
2x^24+x^2 =2 - 84+x^2,
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integral 2x^24+x^2,dx = integral 2,dx ;-;8 integral 14+x^2,dx =2x ;-;8integral 14+x^2,dx

Passo 5

Usamos que
integral 14+x^2,dx = 12,arctg!l(tfracx2r)
Portanto
2x - 8cdot12,arctg!l(tfracx2r) =2x -4,arctg!l(tfracx2r)

Passo 6

Substituindo de volta em integral ln(4+x^2),dx obtemos
integral lnl(4+x^2r),dx = x lnl(4+x^2r) - l(2x -4,arctg!tfracx2r) + C = x lnl(4+x^2r) -2x +4,arctg!tfracx2 + C

Resposta

A igualdade é válida.

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