O que se pede: achar a solução y(x)\] que satisfaz a equação e a condição \(y(1/2)=1.
Dados relevantes comuns: todas as equações envolvem combinações de x e y que sugerem tentar a substituição de variável homogênea y=xv (ou v=y/x). Em cada item vou escolher o método mais direto e explicá-lo passo a passo, sem pular etapas.]
Passo 2
Resolvendo (a). Observação e ideia: a equação
x y^{2}\frac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3}
parece homogênea nas potências de x e y. Uma escolha natural é pôr
y=xv(x),\qquad\text{onde }v=\frac{y}{x}.
Isso transforma a equação para uma em v e x, normalmente mais simples.
Tomando a raiz cúbica (escolhemos a raiz real que passa por v(1)=2>0):
v=\bigl(8-3\ln|x|\bigr)^{1/3}.
Finalmente
y=xv=x\bigl(8-3\ln|x|\bigr)^{1/3}.
Condição de domínio: como usamos \ln|x|, x\neq0; a solução passa por x=1 e é contínua em um entorno de x=1.
Passo 6
Resolvendo (b). Escrevo a forma diferencial
\bigl(x+y e^{y/x}\bigr)\,dx - x e^{y/x}\,dy=0.
Uma observação prática: a presença de y/x sugere a substituição homogênea y=xu(x) com u=\dfrac{y}{x}. Vou tentar essa substituição porque geralmente simplifica termos com y/x.
Passo 7
Faço y=xu. Então dy = u\,dx + x\,du. Substituo na forma:
\bigl(x + xu e^{u}\bigr)dx - x e^{u}\bigl(u\,dx + x\,du\bigr)=0.
Distribuindo:
\bigl(x + x u e^{u}\bigr)dx - x e^{u}u\,dx - x^{2} e^{u} du =0.
Os termos com dx que envolvem u e^{u} cancelam:
x\,dx - x^{2} e^{u} du =0.
Reescrevo de forma separável:
x\,dx = x^{2} e^{u} du \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}= e^{u} du.
Passo 8
Integro ambos os lados:
\int \frac{dx}{x}=\int e^{u} du \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| = e^{u} + C.
Lembro que u=\dfrac{y}{x}, então
e^{y/x}=\ln|x| - C.
Posso reescrever a constante: defina C_{1}=-C e obtenho
e^{y/x}=\ln|x| + C_{1}.
Agora uso a condição inicial y(1)=0. Para x=1 e y=0 temos e^{0}=1, \ln1=0, então 1=0 + C_{1}, logo C_{1}=1. Assim
e^{y/x}=\ln|x| + 1.
Passo 9
Faço logaritmo para isolar y:
\frac{y}{x}=\ln\bigl(\ln|x| + 1\bigr),
e portanto
y(x)=x\ln\bigl(\ln|x| + 1\bigr).
Domínio: precisa-se de \ln|x|+1>0. A condição inicial x=1 está OK. Para x>0 próximo de 1 isso vale; se precisar de extensão para x<0 seria via |x| e checar domínio.
Passo 10
Resolvendo (c). A equação é
\bigl(x+\sqrt{y^{2}-x y}\bigr)\frac{dy}{dx}=y.
Como antes, é natural tentar a substituição homogênea y=xv (pois aparece y^{2} e x y). Além disso a condição inicial usa x=\tfrac{1}{2}>0, então podemos tomar x>0 em torno do ponto inicial e simplificar a raiz com x.
Passo 11
Faço y=xv. Então dy/dx=v + x dv/dx. Calculo o termo sob a raiz:
Para calcular \displaystyle\int\!\left(\frac{1}{v s}+\frac{1}{v}\right)dv faço a substituição prática v=1+t^{2} com t\ge0 (isso é conveniente porque v\ge1 no ponto inicial: y(1/2)=1\Rightarrow v(1/2)=\dfrac{1}{1/2}=2, então v=2 e t^{2}=1). Com v=1+t^{2} temos
Para \displaystyle\int \frac{2}{(1+t^{2})^{3/2}}\,dt uso t=\operatorname{sinh} u (ou observo que a derivada de \tfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} dá esse termo). Fazendo a primitiva:
\int \frac{2}{(1+t^{2})^{3/2}}\,dt = 2\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} + C.
Para \displaystyle\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt a primitiva é
\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt = \ln(1+t^{2}) + C.
Somando,
\int\!\left(\frac{1}{v s}+\frac{1}{v}\right)dv = 2\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} + \ln(1+t^{2}) + C.
Passo 16
Agora volto às variáveis originais. Lembre que t^{2}=v-1, logo 1+t^{2}=v e \dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} = \dfrac{\sqrt{v-1}}{\sqrt{v}}=\sqrt{\dfrac{v-1}{v}}. Portanto a integral dá
\ln v + 2\sqrt{\frac{v-1}{v}} = -\ln|x| + C.
Multiplico por -1 e reorganizo para ter um lado com \ln(xv) se desejar. Observação útil: xv=y, então \ln x + \ln v=\ln y. Assim posso somar \ln|x| aos dois lados para expressar em termos de y:
\ln v + 2\sqrt{\frac{v-1}{v}} + \ln|x| = C' \quad\Longrightarrow\quad \ln y + 2\sqrt{\frac{v-1}{v}} = C',
e como \sqrt{\dfrac{v-1}{v}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{v}}=\sqrt{1-\dfrac{x}{y}}, uma forma conveniente é
\boxed{\ln y + 2\sqrt{1-\dfrac{x}{y}} = C'}.
Esta é uma solução implícita em y e x.
Passo 17
Determino a constante C' usando a condição inicial y\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=1. Substituo x=\tfrac{1}{2} e y=1 na relação implícita:
\boxed{\ln y + 2\sqrt{1-\dfrac{x}{y}} = \sqrt{2}}.
Nota: essa relação define y implicitamente como função de x perto do ponto inicial; isolar y explicitamente exigiria resolver uma equação transcendente (possivelmente aplicando quadratura e resolução algébrica), então manter a forma implícita é a forma prática e correta da solução.