Determine a solução dos seguintes PVIs:
(a) \left\{\begin{array}{l}x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} \\\ y(1)=2\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{l}\left(x+y e^{y / x}\right) d x-x e^{y / x} d y=0 \\\ y(1)=0\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{array}{l}\left(x+\sqrt{y^{2}-x y}\right) \frac{d y}{d x}=y \\\ y\left(\frac{1}{2}\right)=1\end{array}\right.

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá para cada PVI.
  • (a) PVI:
    \begin{cases} x\,y^{2}\dfrac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3},\\[4pt] y(1)=2. \end{cases}
    O que se pede: achar a solução [y(x)) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(1)=2.
  • (b) PVI:
    \begin{cases} \bigl(x+y e^{y/x}\bigr)\,dx - x e^{y/x}\,dy=0,\\[4pt] y(1)=0. \end{cases}
    O que se pede: achar a função y(x)\] (ou uma relação implícita) que satisfaz essa diferencial exata/forma diferencial e \[y(1)=0.
  • (c) PVI:
    \begin{cases} \bigl(x+\sqrt{y^{2}-x y}\bigr)\dfrac{dy}{dx}=y,\\[4pt] y\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=1. \end{cases}
    O que se pede: achar a solução y(x)\] que satisfaz a equação e a condição \(y(1/2)=1.
Dados relevantes comuns: todas as equações envolvem combinações de x e y que sugerem tentar a substituição de variável homogênea y=xv (ou v=y/x). Em cada item vou escolher o método mais direto e explicá-lo passo a passo, sem pular etapas.]

Passo 2

Resolvendo (a). Observação e ideia: a equação
x y^{2}\frac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3}
parece homogênea nas potências de x e y. Uma escolha natural é pôr
y=xv(x),\qquad\text{onde }v=\frac{y}{x}.
Isso transforma a equação para uma em v e x, normalmente mais simples.

Passo 3

Compute as substituições em (a). Se y=xv então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação:
x\,(xv)^{2}\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)=(xv)^{3}-x^{3}.
Agora simplifico passo a passo:
x\cdot x^{2}v^{2}\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)=x^{3}(v^{3}-1).
Dividindo ambos os lados por x^{3} (para x\neq0):
v^{2}\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)=v^{3}-1.
Expandindo à esquerda:
v^{3}+v^{2}x\frac{dv}{dx}=v^{3}-1.
Cancelo v^{3} dos dois lados e obtenho
v^{2}x\frac{dv}{dx}=-1.

Passo 4

Agora separe variáveis para integrar. Reescrevendo:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad v^{2}dv=-\frac{dx}{x}.
Integro ambos os lados:
\int v^{2}dv=\int -\frac{dx}{x}.
As primitivas são
\frac{v^{3}}{3}=-\ln|x|+C.
Multiplico por 3:
v^{3}=-3\ln|x|+C_{1}.

Passo 5

Volto para y usando v=\dfrac{y}{x}. Primeiro uso a condição inicial y(1)=2 que dá v(1)=2. Substituindo x=1 e v(1)=2 na relação obtida:
2^{3}=-3\ln1 + C_{1}\quad\Rightarrow\quad 8 = 0 + C_{1},
logo C_{1}=8. Assim
v^{3}=8-3\ln|x|.
Tomando a raiz cúbica (escolhemos a raiz real que passa por v(1)=2>0):
v=\bigl(8-3\ln|x|\bigr)^{1/3}.
Finalmente
y=xv=x\bigl(8-3\ln|x|\bigr)^{1/3}.
Condição de domínio: como usamos \ln|x|, x\neq0; a solução passa por x=1 e é contínua em um entorno de x=1.

Passo 6

Resolvendo (b). Escrevo a forma diferencial
\bigl(x+y e^{y/x}\bigr)\,dx - x e^{y/x}\,dy=0.
Uma observação prática: a presença de y/x sugere a substituição homogênea y=xu(x) com u=\dfrac{y}{x}. Vou tentar essa substituição porque geralmente simplifica termos com y/x.

Passo 7

Faço y=xu. Então dy = u\,dx + x\,du. Substituo na forma:
\bigl(x + xu e^{u}\bigr)dx - x e^{u}\bigl(u\,dx + x\,du\bigr)=0.
Distribuindo:
\bigl(x + x u e^{u}\bigr)dx - x e^{u}u\,dx - x^{2} e^{u} du =0.
Os termos com dx que envolvem u e^{u} cancelam:
x\,dx - x^{2} e^{u} du =0.
Reescrevo de forma separável:
x\,dx = x^{2} e^{u} du \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}= e^{u} du.

Passo 8

Integro ambos os lados:
\int \frac{dx}{x}=\int e^{u} du \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| = e^{u} + C.
Lembro que u=\dfrac{y}{x}, então
e^{y/x}=\ln|x| - C.
Posso reescrever a constante: defina C_{1}=-C e obtenho
e^{y/x}=\ln|x| + C_{1}.
Agora uso a condição inicial y(1)=0. Para x=1 e y=0 temos e^{0}=1, \ln1=0, então 1=0 + C_{1}, logo C_{1}=1. Assim
e^{y/x}=\ln|x| + 1.

Passo 9

Faço logaritmo para isolar y:
\frac{y}{x}=\ln\bigl(\ln|x| + 1\bigr),
e portanto
y(x)=x\ln\bigl(\ln|x| + 1\bigr).
Domínio: precisa-se de \ln|x|+1>0. A condição inicial x=1 está OK. Para x>0 próximo de 1 isso vale; se precisar de extensão para x<0 seria via |x| e checar domínio.

Passo 10

Resolvendo (c). A equação é
\bigl(x+\sqrt{y^{2}-x y}\bigr)\frac{dy}{dx}=y.
Como antes, é natural tentar a substituição homogênea y=xv (pois aparece y^{2} e x y). Além disso a condição inicial usa x=\tfrac{1}{2}>0, então podemos tomar x>0 em torno do ponto inicial e simplificar a raiz com x.

Passo 11

Faço y=xv. Então dy/dx=v + x dv/dx. Calculo o termo sob a raiz:
y^{2}-xy = x^{2}v^{2} - x^{2}v = x^{2}\bigl(v^{2}-v\bigr)=x^{2}v(v-1).
Para x>0 tomamos a raiz positiva:
\sqrt{y^{2}-x y}=x\sqrt{v(v-1)}.
Substituindo tudo na equação dá
\bigl(x + x\sqrt{v(v-1)}\bigr)\bigl(v + x\frac{dv}{dx}\bigr)=xv.
Divido por x (novamente x\neq0):
\bigl(1+\sqrt{v(v-1)}\bigr)\bigl(v + x\frac{dv}{dx}\bigr)=v.

Passo 12

Isolo o termo com dv/dx:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+\sqrt{v(v-1)}}.
Logo
x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+\sqrt{v(v-1)}}-v = v\!\left(\frac{1}{1+\sqrt{v(v-1)}}-1\right) = -\frac{v\sqrt{v(v-1)}}{1+\sqrt{v(v-1)}}.
Coloco s=\sqrt{v(v-1)} apenas para leitura; então
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v s}{1+s}.

Passo 13

Separo variáveis:
\frac{1+s}{v s}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Note que \dfrac{1+s}{v s}=\dfrac{1}{v s}+\dfrac{1}{v}. Portanto integro:
\int\!\left(\frac{1}{v s}+\frac{1}{v}\right)dv = -\int\frac{dx}{x}.
Lembre que s=\sqrt{v(v-1)}.

Passo 14

Para calcular \displaystyle\int\!\left(\frac{1}{v s}+\frac{1}{v}\right)dv faço a substituição prática v=1+t^{2} com t\ge0 (isso é conveniente porque v\ge1 no ponto inicial: y(1/2)=1\Rightarrow v(1/2)=\dfrac{1}{1/2}=2, então v=2 e t^{2}=1). Com v=1+t^{2} temos
dv=2t\,dt,\qquad s=\sqrt{v(v-1)}=\sqrt{(1+t^{2})t^{2}}=t\sqrt{1+t^{2}}.
Então os termos ficam:
\frac{1}{v s}+\frac{1}{v}=\frac{1}{t(1+t^{2})^{3/2}}+\frac{1}{1+t^{2}}.
Multiplicando por dv=2t\,dt obtemos integrando em t:
\left(\frac{1}{t(1+t^{2})^{3/2}}+\frac{1}{1+t^{2}}\right)2t\,dt = \frac{2}{(1+t^{2})^{3/2}}\,dt + \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 15

Integro as duas parcelas separadamente.
  1. Para \displaystyle\int \frac{2}{(1+t^{2})^{3/2}}\,dt uso t=\operatorname{sinh} u (ou observo que a derivada de \tfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} dá esse termo). Fazendo a primitiva:
\int \frac{2}{(1+t^{2})^{3/2}}\,dt = 2\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} + C.
  1. Para \displaystyle\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt a primitiva é
\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt = \ln(1+t^{2}) + C.
Somando,
\int\!\left(\frac{1}{v s}+\frac{1}{v}\right)dv = 2\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} + \ln(1+t^{2}) + C.

Passo 16

Agora volto às variáveis originais. Lembre que t^{2}=v-1, logo 1+t^{2}=v e \dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} = \dfrac{\sqrt{v-1}}{\sqrt{v}}=\sqrt{\dfrac{v-1}{v}}. Portanto a integral dá
\ln v + 2\sqrt{\frac{v-1}{v}} = -\ln|x| + C.
Multiplico por -1 e reorganizo para ter um lado com \ln(xv) se desejar. Observação útil: xv=y, então \ln x + \ln v=\ln y. Assim posso somar \ln|x| aos dois lados para expressar em termos de y:
\ln v + 2\sqrt{\frac{v-1}{v}} + \ln|x| = C' \quad\Longrightarrow\quad \ln y + 2\sqrt{\frac{v-1}{v}} = C',
e como \sqrt{\dfrac{v-1}{v}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{v}}=\sqrt{1-\dfrac{x}{y}}, uma forma conveniente é
\boxed{\ln y + 2\sqrt{1-\dfrac{x}{y}} = C'}.
Esta é uma solução implícita em y e x.

Passo 17

Determino a constante C' usando a condição inicial y\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=1. Substituo x=\tfrac{1}{2} e y=1 na relação implícita:
\ln 1 + 2\sqrt{1-\frac{1/2}{1}} = C' \quad\Rightarrow\quad 0 + 2\sqrt{\tfrac{1}{2}} = C'.
Logo
C' = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
Portanto a solução implícita final é
\boxed{\ln y + 2\sqrt{1-\dfrac{x}{y}} = \sqrt{2}}.
Nota: essa relação define y implicitamente como função de x perto do ponto inicial; isolar y explicitamente exigiria resolver uma equação transcendente (possivelmente aplicando quadratura e resolução algébrica), então manter a forma implícita é a forma prática e correta da solução.

Resposta

(a) y(x)=x\bigl(8-3\ln|x|\bigr)^{1/3}
(b) y(x)=x\ln\bigl(\ln|x|+1\bigr)
(c) \ln y + 2\sqrt{1-\dfrac{x}{y}}=\sqrt{2}

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