Verifique que cada uma das seguintes EDOs é homogênea e determine seu grau. Em seguida, encontre a solução geral da equação. \left(2 x^{2} y\right) d x=\left(3 x^{3}+y^{3}\\right) d y
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial é homogênea e determinar seu grau; em seguida encontrar a solução geral da EDO. A equação dada é
\left(2 x^{2} y\right) d x=\left(3 x^{3}+y^{3}\right) d y.
Informações relevantes fornecidas:
O lado multiplicando d x é M(x,y)=2x^{2}y.
O lado multiplicando d y é N(x,y)=3x^{3}+y^{3}.
Precisamos (1) verificar homogeneidade e grau e (2) obter a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
O que significa “homogênea” aqui (explicação didática): uma função F(x,y) é homogênea de grau k se, para todo \lambda, F(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}F(x,y). Para uma EDO na forma M(x,y)\,dx=N(x,y)\,dy dizer que é homogênea é verificar que M e N são funções homogêneas do mesmo grau k.
Método para resolver (explicação didática, passo a passo): para EDO homogênea da forma M(x,y)\,dx=N(x,y)\,dy é conveniente passar para a forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{M(x,y)}{N(x,y)} e usar a substituição
y=vx,
onde v é função de x. Isso funciona porque em termos de v a razão entre polinômios homogêneos depende apenas de v, tornando a equação separável em v e x.
Aplicando isso aqui: primeiro escrevemos a equação como razão de derivadas.
\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{2}y}{3x^{3}+y^{3}}.
Agora fazemos y=vx. Então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Passo 4
Substituindo y=vx na razão do lado direito (detalhe das contas):
(Explicação rápida de como se chega a essa última forma: decompondo \dfrac{1}{v(1+v^{3})} por frações parciais obtém-se \dfrac{1}{v}-\dfrac{v^{2}}{1+v^{3}}; multiplicando por 2 e somando a 1/v dá 3/v-2v^{2}/(1+v^{3}).)
Expandindo 9\ln|y/x|=9\ln|y|-9\ln|x| e usando \ln\!\left|1+\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\right|=\ln|x^{3}+y^{3}|-3\ln|x| (porque 1+(y/x)^{3}=(x^{3}+y^{3})/x^{3}), obtemos cancelamentos em \ln|x| e sobra
Exponenciando e absorvendo o sinal/valor absoluto na constante arbitrária C resulta a forma implícita mais simples da solução geral:
\frac{y^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}}=C,
onde C é constante arbitrária (real).
Passo 7
Interpretação final e forma alternativa (útil na prova): a solução geral pode ser dada implicitamente por
y^{9}=C\,(x^{3}+y^{3})^{2},
com C constante arbitrária. Essa é a família geral de soluções (implícita). Separar explicitamente y em função de x seria pouco prático e desnecessário aqui.
Resposta
Homogênea de grau 3.
Solução geral: \displaystyle \frac{y^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}}=C, onde C é constante arbitrária.