Verifique que cada uma das seguintes EDOs é homogênea e determine seu grau. Em seguida, encontre a solução geral da equação.
\left(2 x^{2} y\right) d x=\left(3 x^{3}+y^{3}\\right) d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial é homogênea e determinar seu grau; em seguida encontrar a solução geral da EDO. A equação dada é
\left(2 x^{2} y\right) d x=\left(3 x^{3}+y^{3}\right) d y.
Informações relevantes fornecidas:
  • O lado multiplicando d x é M(x,y)=2x^{2}y.
  • O lado multiplicando d y é N(x,y)=3x^{3}+y^{3}.
  • Precisamos (1) verificar homogeneidade e grau e (2) obter a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

O que significa “homogênea” aqui (explicação didática): uma função F(x,y) é homogênea de grau k se, para todo \lambda, F(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}F(x,y). Para uma EDO na forma M(x,y)\,dx=N(x,y)\,dy dizer que é homogênea é verificar que M e N são funções homogêneas do mesmo grau k.
Vamos verificar M e N.
M(x,y)=2x^{2}y.
Se multiplicarmos (x,y) por \lambda temos
M(\lambda x,\lambda y)=2(\lambda x)^{2}(\lambda y)=2\lambda^{3}x^{2}y=\lambda^{3}M(x,y).
Logo M é homogênea de grau 3.
Agora N:
N(x,y)=3x^{3}+y^{3}.
N(\lambda x,\lambda y)=3(\lambda x)^{3}+(\lambda y)^{3}=3\lambda^{3}x^{3}+\lambda^{3}y^{3}=\lambda^{3}(3x^{3}+y^{3})=\lambda^{3}N(x,y).
Logo N também é homogênea de grau 3.
Conclusão: a EDO é homogênea e o grau comum é 3.

Passo 3

Método para resolver (explicação didática, passo a passo): para EDO homogênea da forma M(x,y)\,dx=N(x,y)\,dy é conveniente passar para a forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{M(x,y)}{N(x,y)} e usar a substituição
y=vx,
onde v é função de x. Isso funciona porque em termos de v a razão entre polinômios homogêneos depende apenas de v, tornando a equação separável em v e x.
Aplicando isso aqui: primeiro escrevemos a equação como razão de derivadas.
\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{2}y}{3x^{3}+y^{3}}.
Agora fazemos y=vx. Então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituindo y=vx na razão do lado direito (detalhe das contas):
\text{numerador}=2x^{2}y=2x^{2}(v x)=2v x^{3},
\text{denominador}=3x^{3}+y^{3}=3x^{3}+(v x)^{3}=x^{3}(3+v^{3}).
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{2v x^{3}}{x^{3}(3+v^{3})}=\frac{2v}{3+v^{3}}.
Igualando com v+x\dfrac{dv}{dx} obtemos
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{3+v^{3}}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{3+v^{3}}-v =\;v\!\left(\frac{2}{3+v^{3}}-1\right) =v\left(\frac{2-(3+v^{3})}{3+v^{3}}\right) =-v\frac{1+v^{3}}{3+v^{3}}.
Logo
\frac{dv}{dx}=-\frac{v(1+v^{3})}{(3+v^{3})}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Separando variáveis (explicação didática sobre separação): colocamos todos os termos em v no lado esquerdo e x no direito para integrar.
\frac{3+v^{3}}{v(1+v^{3})}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, simplificamos a fração do lado esquerdo: observe
\frac{3+v^{3}}{v(1+v^{3})}=\frac{(1+v^{3})+2}{v(1+v^{3})}=\frac{1+v^{3}}{v(1+v^{3})}+\frac{2}{v(1+v^{3})}=\frac{1}{v}+\frac{2}{v(1+v^{3})}.
Então
\frac{3+v^{3}}{v(1+v^{3})}=\frac{3}{v}-\frac{2v^{2}}{1+v^{3}}.
(Explicação rápida de como se chega a essa última forma: decompondo \dfrac{1}{v(1+v^{3})} por frações parciais obtém-se \dfrac{1}{v}-\dfrac{v^{2}}{1+v^{3}}; multiplicando por 2 e somando a 1/v 3/v-2v^{2}/(1+v^{3}).)
Portanto a integral à esquerda fica
\int\left(\frac{3}{v}-\frac{2v^{2}}{1+v^{3}}\right)dv.
Integramos termo a termo:
\int\frac{3}{v}\,dv=3\ln|v|.
Para o segundo termo, use a substituição u=1+v^{3}, então du=3v^{2}dv e v^{2}dv=\dfrac{du}{3}. Assim
\int\frac{2v^{2}}{1+v^{3}}\,dv=2\cdot\frac{1}{3}\int\frac{du}{u}=\frac{2}{3}\ln|u|=\frac{2}{3}\ln|1+v^{3}|.
Com sinal negativo temos
\int\left(\frac{3}{v}-\frac{2v^{2}}{1+v^{3}}\right)dv=3\ln|v|-\frac{2}{3}\ln|1+v^{3}|.
No lado direito
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|.

Passo 6

Igualando as integrais e acrescentando constante de integração C:
3\ln|v|-\frac{2}{3}\ln|1+v^{3}|=-\ln|x|+C.
É conveniente eliminar as frações: multiplicando tudo por 3 obtemos
9\ln|v|-2\ln|1+v^{3}|=-3\ln|x|+C_{1}.
Agora voltamos a y usando v=\dfrac{y}{x}. Calculamos passo a passo para simplificar:
9\ln\left|\frac{y}{x}\right|-2\ln\!\left|1+\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\right|=-3\ln|x|+C_{1}.
Expandindo 9\ln|y/x|=9\ln|y|-9\ln|x| e usando \ln\!\left|1+\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\right|=\ln|x^{3}+y^{3}|-3\ln|x| (porque 1+(y/x)^{3}=(x^{3}+y^{3})/x^{3}), obtemos cancelamentos em \ln|x| e sobra
9\ln|y|-2\ln|x^{3}+y^{3}|=C_{2}.
Isto é equivalente a
\ln\!\left(\frac{|y|^{9}}{|x^{3}+y^{3}|^{2}}\right)=C_{2}.
Exponenciando e absorvendo o sinal/valor absoluto na constante arbitrária C resulta a forma implícita mais simples da solução geral:
\frac{y^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}}=C,
onde C é constante arbitrária (real).

Passo 7

Interpretação final e forma alternativa (útil na prova): a solução geral pode ser dada implicitamente por
y^{9}=C\,(x^{3}+y^{3})^{2},
com C constante arbitrária. Essa é a família geral de soluções (implícita). Separar explicitamente y em função de x seria pouco prático e desnecessário aqui.

Resposta

Homogênea de grau 3.
Solução geral: \displaystyle \frac{y^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}}=C, onde C é constante arbitrária.

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