Determine a solução dos PVIs abaixo:
(a) \left\{\begin{array}{l}\left(e^{-y}+1\right) \operatorname{sen} x d x=(1+\cos x) d y \\\ y(0)=0\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d y}=4\left(x^{2}+1\right) \\\ x\left(\frac{\pi}{4}\right)=1\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}=y-x y \\\ y(-1)=-1\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada PVI nos dá e o que é pedido (peguei isso do enunciado).
  • Problema (a): dado
\left(e^{-y}+1\right)\operatorname{sen} x\,dx=(1+\cos x)\,dy, \qquad y(0)=0.
Pede-se encontrar a solução y(x) que satisfaz essa condição inicial.
  • Problema (b): dado
\frac{dx}{dy}=4\left(x^{2}+1\right), \qquad x\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Pede-se encontrar a solução x(y) que satisfaz essa condição inicial.
  • Problema (c): dado
x^{2}y'=y-xy, \qquad y(-1)=-1.
Pede-se encontrar a solução y(x) que satisfaz essa condição inicial.

Passo 2

Resolver (a). Primeiro vou escrever a equação diferencial na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots para enxergar a separação de variáveis:
\left(e^{-y}+1\right)\sin x\,dx=(1+\cos x)\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{-y}+1\right)\sin x}{1+\cos x}.
Agora é claro que dá para separar as variáveis y e x: colocar termos com y de um lado e termos com x do outro.

Passo 3

Separei e escrevi as integrais correspondentes:
\frac{dy}{e^{-y}+1}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.
Vou integrar ambos os lados. Antes de integrar o lado esquerdo, vou simplificá-lo usando uma manipulação algébrica:
\frac{1}{e^{-y}+1}=\frac{e^{y}}{1+e^{y}},
portanto
\int\frac{dy}{e^{-y}+1}=\int\frac{e^{y}}{1+e^{y}}\,dy.

Passo 4

Calculo a integral à esquerda por substituição: seja u=1+e^{y}. Então du=e^{y}\,dy. Assim
\int\frac{e^{y}}{1+e^{y}}\,dy=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln\bigl(1+e^{y}\bigr)+C.
Agora calculo a integral à direita. Uso a substituição t=1+\cos x, então dt=-\sin x\,dx. Assim
\int\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx=-\int\frac{dt}{t}=-\ln|t|+C=-\ln\bigl(1+\cos x\bigr)+C.

Passo 5

Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só), obtenho
\ln\bigl(1+e^{y}\bigr)=-\ln\bigl(1+\cos x\bigr)+C.
Exponenciando,
\bigl(1+e^{y}\bigr)\bigl(1+\cos x\bigr)=C_1,
onde C_1>0. Uso a condição inicial y(0)=0: em x=0, \cos 0=1 e e^{y(0)}=e^{0}=1, então
(1+1)(1+1)=4=C_1.
Portanto a solução implícita é
\bigl(1+e^{y}\bigr)\bigl(1+\cos x\bigr)=4.
Isolando y:
1+e^{y}=\frac{4}{1+\cos x} \quad\Longrightarrow\quad e^{y}=\frac{4}{1+\cos x}-1=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}.
Tomando logaritmo,
y(x)=\ln\!\left(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\right).
Observação curta: essa expressão está definida para 1+\cos x\neq0 (ou seja, exceto em pontos onde \cos x=-1); a condição inicial x=0 está num ponto válido.

Passo 6

Resolver (b). A equação já está na forma \dfrac{dx}{dy}=4(x^{2}+1), que é separável. Faço a separação:
\frac{dx}{x^{2}+1}=4\,dy.
Agora integro ambos os lados. A primitiva do lado esquerdo é a função arco-tangente:
\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan x + C, \qquad \int 4\,dy=4y+C.
Assim
\arctan x = 4y + C.

Passo 7

Determino a constante com a condição inicial x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1. Como \arctan 1=\tfrac{\pi}{4},
\frac{\pi}{4}=4\cdot\frac{\pi}{4}+C=\pi + C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4}.
Logo
\arctan x = 4y-\frac{3\pi}{4}.
Isolando x por tangente,
x(y)=\tan\!\left(4y-\frac{3\pi}{4}\right).
Essa é a solução definida onde o argumento do tangente não atinge os pontos de descontinuidade.

Passo 8

Resolver (c). A equação dada é
x^{2}y'=y-xy.
Primeiro reorganizo para obter y' isolado:
y'=\frac{y-xy}{x^{2}}=\frac{y(1-x)}{x^{2}}.
Vejo que é separável: posso escrever todas as dependências em y de um lado e as de x do outro.

Passo 9

Faço a separação:
\frac{dy}{y}=\frac{1-x}{x^{2}}\,dx.
Expresso o lado direito em frações mais simples:
\frac{1-x}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}.
Agora integro ambos os lados:
\int\frac{dy}{y}=\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)dx.
As primitivas são
\int\frac{dy}{y}=\ln|y| + C, \qquad \int\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}, \qquad \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|.
Portanto
\ln|y|=-\frac{1}{x}-\ln|x|+C.

Passo 10

Reescrevo a constante e exponencio para obter y explicitamente:
\ln|y|+\ln|x|=-\frac{1}{x}+C \quad\Longrightarrow\quad \ln|xy|=-\frac{1}{x}+C.
Exponenciando,
|xy|=C_1 e^{-1/x},
ou seja
y=\frac{C_1 e^{-1/x}}{x},
onde C_1 é uma constante real que pode ser positiva ou negativa (o sinal ficará ajustado pela condição inicial).

Passo 11

Uso a condição inicial y(-1)=-1. Substituindo x=-1 e y=-1 em y=\dfrac{C_1 e^{-1/x}}{x}:
-1=\frac{C_1 e^{-1/(-1)}}{-1}=\frac{C_1 e^{1}}{-1}=-C_1 e.
Daí C_1=\dfrac{1}{e}. Assim a solução final é
y(x)=\frac{\dfrac{1}{e}\,e^{-1/x}}{x}=\frac{e^{-1/x}}{e\,x}.
Se preferir uma forma combinada dos expoentes:
y(x)=\frac{e^{-(1+1/x)}}{x},
que é algebraicamente equivalente.

Resposta

(a) y(x)=\displaystyle\ln\!\left(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\right)
(b) x(y)=\displaystyle\tan\!\left(4y-\frac{3\pi}{4}\right)
(c) y(x)=\displaystyle\frac{e^{-1/x}}{e\,x}

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