Determine a solução dos PVIs abaixo:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vou listar claramente o que cada PVI nos dá e o que é pedido (peguei isso do enunciado).
- Problema (a): dado
Pede-se encontrar a solução
que satisfaz essa condição inicial.
- Problema (b): dado
Pede-se encontrar a solução
que satisfaz essa condição inicial.
- Problema (c): dado
Pede-se encontrar a solução
que satisfaz essa condição inicial.
Passo 2
Resolver (a). Primeiro vou escrever a equação diferencial na forma
para enxergar a separação de variáveis:
Agora é claro que dá para separar as variáveis
e
: colocar termos com
de um lado e termos com
do outro.
Passo 3
Separei e escrevi as integrais correspondentes:
Vou integrar ambos os lados. Antes de integrar o lado esquerdo, vou simplificá-lo usando uma manipulação algébrica:
portanto
Passo 4
Calculo a integral à esquerda por substituição: seja
. Então
. Assim
Agora calculo a integral à direita. Uso a substituição
, então
. Assim
Passo 5
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só), obtenho
Exponenciando,
onde
. Uso a condição inicial
: em
,
e
, então
Portanto a solução implícita é
Isolando
:
Tomando logaritmo,
Observação curta: essa expressão está definida para
(ou seja, exceto em pontos onde
); a condição inicial
está num ponto válido.
Passo 6
Resolver (b). A equação já está na forma
, que é separável. Faço a separação:
Agora integro ambos os lados. A primitiva do lado esquerdo é a função arco-tangente:
Assim
Passo 7
Determino a constante com a condição inicial
. Como
,
Logo
Isolando
por tangente,
Essa é a solução definida onde o argumento do tangente não atinge os pontos de descontinuidade.
Passo 8
Resolver (c). A equação dada é
Primeiro reorganizo para obter
isolado:
Vejo que é separável: posso escrever todas as dependências em
de um lado e as de
do outro.
Passo 9
Faço a separação:
Expresso o lado direito em frações mais simples:
Agora integro ambos os lados:
As primitivas são
Portanto
Passo 10
Reescrevo a constante e exponencio para obter
explicitamente:
Exponenciando,
ou seja
onde
é uma constante real que pode ser positiva ou negativa (o sinal ficará ajustado pela condição inicial).
Passo 11
Uso a condição inicial
. Substituindo
e
em
:
Daí
. Assim a solução final é
Se preferir uma forma combinada dos expoentes:
que é algebraicamente equivalente.
Resposta
(a)
(b)
(c)