Determine a solução dos seguintes PVIs
ly^prime prime-2 y^prime+5 y=e^2 t y(0)=1 y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' - 2y' + 5y = e^2t, y(0)=1,;y'(0)=1
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos:
  1. resolver a parte homogênea via equação característica,
  2. obter uma solução particular por coeficientes indeterminados,
  3. aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Equação característica da homogênea y'' -2y'+5y=0 é
r^2 - 2r + 5 = 0
As raízes são
r = 2 pm raiz4 - 202 = 1 pm 2,i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = e^tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do tipo e^2t, suponha
yp(t) = A e^2t
Então
yp' = 2A e^2t, yp'' = 4A e^2t
Substituindo em y'' -2y' +5y = e^2t
(4A - 2cdot 2A + 5A),e^2t = (4A -4A +5A),e^2t = 5A,e^2t = e^2t
Logo
5A = 1 implies A = 15
Portanto
yp(t) = 15e^2t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) + 15e^2t
Agora aplicamos as condições iniciais.
Para y(0)=1:
y(0) = C1 + 15 = 1 Longrightarrow C1 = 1 - tfrac15 = tfrac45
Para y'(t) calculamos
y'(t) = e^tl(C1cos2t + C2sin2tr) + e^tl(-2C1sin2t + 2C2cos2tr) + 25e^2t
Em t=0 isso vira
y'(0) = l(C1 + 2C2r) + 25 = 1,
portanto
C1 + 2C2 = 1 - tfrac25 = tfrac35
Como C1=4/5, segue
4/5 + 2C2 = 3/5 ;Longrightarrow; 2C2 = -tfrac15 ;Longrightarrow; C2 = -tfrac110

Resposta

boxed y(t) = e^tl(tfrac45cos(2t) - tfrac110sin(2t)r) + tfrac15e^2t

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