Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
integral x^2 arctg(x) d x=x^33 arctg(x)+16 ln (x^2+1)-x^26+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando integração por partes, que
integral x^2arctan(x),dx = x^33arctan(x) +16lnl(x^2+1r) -x^26 +C
O conteúdo envolve a técnica de integração por partes e depois uma divisão algébrica para integrar o quociente resultante.

Passo 2

Escolhemos as partes para a fórmula de integração por partes,
u = arctan(x), dv = x^2,dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = integral x^2,dx = x^33

Passo 3

Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du,
temos
integral x^2arctan(x),dx = x^33arctan(x) - integral x^3/31+x^2,dx = x^33arctan(x) -13integral x^31+x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral x^31+x^2,dx, fazemos divisão algébrica:
x^31+x^2 = x - x1+x^2
Logo,
integral x^31+x^2,dx = integral x,dx - integral x1+x^2,dx = x^22 - 12lnl(1+x^2r) + C

Passo 5

Substituindo de volta em -13integral x^31+x^2,dx, obtemos
-13l(x^22 - 12ln(1+x^2)r) = -x^26 +16lnl(x^2+1r)
Portanto,
integral x^2arctan(x),dx = x^33arctan(x) +16lnl(x^2+1r) -x^26 + C,
confirmando a igualdade proposta.

Resposta

integral x^2arctan(x),dx = x^33arctan(x) +16lnl(x^2+1r) -x^26 + C

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