Encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x)=tg(x)+cot (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de tg(x)+cot(x). O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas, em particular de tg(x) e de cot(x). Para resolver, vamos usar a definição de cada uma como quociente de seno e cosseno e aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Para tg(x)=tfracsin(x)cos(x) aplicamos a regra do quociente:
ddxtg(x) = cos(x)cdotcos(x)-sin(x)cdot(-sin(x))cos^2(x) = cos^2(x)+sin^2(x)cos^2(x) = 1cos^2(x) = sec^2(x)

Passo 3

Para cot(x)=tfraccos(x)sin(x) aplicamos a regra do quociente:
ddxcot(x) = sin(x)cdot(-sin(x))-cos(x)cdotcos(x)sin^2(x) = -sin^2(x)-cos^2(x)sin^2(x) = -1sin^2(x) = -csc^2(x)

Passo 4

Somando as derivadas obtidas para cada termo da função original, temos
f'(x) = sec^2(x) - csc^2(x)

Resposta

f'(x)=sec^2(x)-csc^2(x)

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