Determine a solução para todo z se a onda tem padrão inicial na forma
Phi(x, y, 0)=A exp (-rho^22 a^2)
A dica é converter as integrais para as coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado nos dá a amplitude inicial de uma onda (no regime paraxial / difração de Fresnel) num plano z=0 com perfil gaussiano Phi(x,y,0)=Aexpl(-rho^2/(2a^2)r). Queremos achar Phi(x,y,z) para todo z, usando o integral de Fresnel e transformadas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Escrevemos o integral de Fresnel para o campo propagado sob aproximação paraxial:
Phi(x,y,z)=e^ikzilambda zintegral dupla-infty^inftyPhi(x',y',0)expl(ik2zl[(x-x')^2+(y-y')^2r]r),dx',dy'

Passo 3

Substituímos Phi(x',y',0)=Aexp(-rho'^2/(2a^2)) e passamos a integração para coordenadas cilíndricas no plano z=0:
x'=rho'costheta, y'=rho'sintheta, dx'dy'=rho',drho',dtheta
Também escrevemos $ (x-x’)2+(y-y’)2=\rho2+\rho’2-2\rho\rho’\cos\theta$.

Passo 4

Fazemos primeiro a integral angular usando a identidade
integral0^2pie^-ikrhorho'zcostheta,dtheta=2pi J0l(krhorho'zr)
O integral torna-se
Phi(rho,z)=A,e^ikzilambda z2piintegral0^inftyrho'expl(-rho'^22a^2+ikrho'^22zr)J0l(krhorho'zr)drho'

Passo 5

Usamos agora o integral de Bessel-Gauss
integral0^inftyrho' e^-alpharho'^2J0(betarho'),drho'=12alphaexpl(-beta^24alphar),
com alpha=tfrac12a^2-tfracik2z e beta=tfrackrhoz.

Passo 6

Depois de aplicar essa fórmula, obtemos
Phi(rho,z)=A,a^2a^2+itfraczkexpl(-rho^22l(a^2+itfraczkr)r)e^ikz
Esta é a solução em termos de rho=raizx^2+y^2, mostrando como o perfil gaussiano se alarga e adquire fase à medida que z cresce.

Resposta

Phi(x,y,z)=A,a^2a^2+itfraczkexpl(-x^2+y^22l(a^2+itfraczkr)r),e^ikz

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