Determine a solução para todo se a onda tem padrão inicial na forma
A dica é converter as integrais para as coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado nos dá a amplitude inicial de uma onda (no regime paraxial / difração de Fresnel) num plano z=0 com perfil gaussiano . Queremos achar para todo , usando o integral de Fresnel e transformadas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Escrevemos o integral de Fresnel para o campo propagado sob aproximação paraxial:
Passo 3
Substituímos e passamos a integração para coordenadas cilíndricas no plano :
Também escrevemos $ (x-x’)2+(y-y’)2=\rho2+\rho’2-2\rho\rho’\cos\theta$.
Passo 4
Fazemos primeiro a integral angular usando a identidade
O integral torna-se
Passo 5
Usamos agora o integral de Bessel-Gauss
com e .
Passo 6
Depois de aplicar essa fórmula, obtemos
Esta é a solução em termos de , mostrando como o perfil gaussiano se alarga e adquire fase à medida que cresce.