A cavidade conhecida como ressoador de Fabri-Perot e constituída de dois espelhos paralelos tem importantes aplicações em óptica, na obtenção do efeito laser. Para haver lasing (poder gerar um feixe de luz intenso e coerente) um dos requisitos é que o meio material entre os espelhos apresente ganho suficiente para compensar as perdas no comprimento de ondas de interesse e esse meio é dito ativo. Consideremos que o meio entre dois espelhos satisfaça esse primeiro requisito, ou seja, apresente ganho numa faixa de comprimentos de onda de interesse. Dessa forma a seleção da frequência (ou comprimento de onda) correta de laser deverá ser feita através do ajuste da distância d entre os espelhos. Entre os espelhos haverá a propagação de ondas eletromagnéticas em ambos os sentidos (onda propagante e onda refletida). Um dos espelhos é sempre um refletor perfeito R approx 1 enquanto o outro tem uma refletividade menor, cerca de R=0.7, para deixar uma parte da energia contida na cavidade passar para fora, constitindo o feixe de laser desejado. Para fins de análise, consideremos que o ganho do meio ativo compense exatamente as perdas condutivas no material e as perdas nos espelhos, de forma que possamos tratar ambos os espelhos como condutores perfeitos sigma infty, R=1. Adota-se um sistema de coordenadas em que o eixo z é o eixo de propagação das ondas entre os dois espelhos perfeitamente paralelos entre si. O primeiro espelho é o plano z=0 e o segundo espelho é o plano z=d e podemos representar o campo elétrico entre os espelhos na forma
E=Ei+Er=(Ei e^i(omega t-k z)+Er e^i(omega t+k z)) ax
onde Ei é a amplitude do campo propagante no sentido positivo do eixo z e Er do campo propagante no sentido oposto.
a) Lembrando que o campo elétrico tangencial à uma superfície condutora perfeita deve se anular sobre a superfície, encontre as relações entre Ei e Er e as condições sobre o número de onda k=2 pi / lambda para satisfazer às condições de contorno impostas. Uma vez encontrada a forma do campo elétrico, determine o campo magnético na cavidade.
b) Para um material com índice de refração n=raizvarepsilonr approx 1 e ativo na faixa de 692.00 nm colocado entre os dois espelhos com distância de separação d=1 cm, determine quantos e quais são os comprimentos de onda excitados na cavidade assumindo que todos os comprimentos de onda possíveis entre o mínimo e o máximo da faixa ativa sejam excitados.
Obs.: 1 nm=10^-9 m

Passo 1

O enunciado fala de um ressoador de Fabry–Perot formado por dois espelhos perfeitos separados por uma distância d, com um meio ativo ( napprox1) entre eles. A ideia é que, para haver um laser, o campo elétrico total entre os espelhos forme uma onda estacionária sujeita às contornos de condutor perfeito em z=0 e z=d. Vamos precisar usar as condições de contorno para E num condutor perfeito e depois derivar o campo magnético. Na parte (b) vamos aplicar a condição de ressonância k d = mpi para determinar os comprimentos de onda permitidos numa faixa ativa dada.

Passo 2

Aplicando a condição de que o campo elétrico tangencial em um condutor perfeito deve se anular em z=0 e em z=d, temos em z=0:
Ei e^i(omega t- kcdot0) + Er e^i(omega t + kcdot0) = 0
Isto dá Ei + Er=0, ou seja
Er = -Ei
Em z=d exigimos
Ei e^i(omega t- k d) + Er e^i(omega t + k d) =0
Substituindo Er=-Ei resulta em
Eil(e^-i k d-e^i k dr)=0
que implica
sin(kd)=0 Longrightarrow k d = mpi,
com m inteiro.

Passo 3

Como k=2pi/lambda, a condição de ressonância fica
2pilambda,d = mpi Longrightarrow lambda = 2dm
Juntando com Er=-Ei, o campo elétrico total é
E = Eil(e^i(omega t - k z) - e^i(omega t + k z)r)hat ax = -2iEisin(kz),e^iomega t,hat ax
O campo magnético associa-se via H=1eta0hat ktimes E. Para as duas ondas:
  • O incidente produz
    Hi = Eieta0e^i(omega t - kz),hat ay
  • A refletida (com Er=-Ei) produz
    Hr = -Ereta0e^i(omega t + kz),hat ay = Eieta0e^i(omega t + kz),hat ay
Somando, obtemos onda estacionária:
H = Eieta0l(e^i(omega t - kz) + e^i(omega t + kz)r)hat ay = 2Eieta0cos(kz),e^iomega t,hat ay

Passo 4

Na parte (b), com d=1 cm=0.01 m e faixa ativa
692.00 nm < lambda < 692.20 nm,
os comprimentos de onda permitidos são
lambdam=2dm
Queremos todos os inteiros m tais que lambdam caia na faixa. Invertendo,
lambdam<692.20times10^-9 m Longrightarrow m>2d692.20times10^-9, lambdam>692.00times10^-9 m Longrightarrow m<2d692.00times10^-9

Passo 5

Calculando numericamente:
2d692.20times10^-9=0.026.922times10^-7approx28889.6, 2d692.00times10^-9=0.026.920times10^-7approx28931.2
Logo m deve variar de mmin=28890 até mmax=28931, o que dá
N = 28931 - 28890 + 1 = 42
modos ressonantes. Cada modo corresponde a

Resposta

Existem 42 comprimentos de onda excitados, dados por
λ_m = 2d/m = 0.02 m/m, com m variando de 28890 até 28931 (total de 42 modos).

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