Obtenha a equação de propagação paraxial e a partir da óptica de Fourier determine o comprimento de difração e a solução para todo z para uma onda monocromática de frequência omega cujo perfil em z=0 é gaussiano na forma
Phi(x, y, 0)=A exp (-x^22 a^2)

Passo 1

A questão pede para derivar a equação de propagação paraxial e, usando óptica de Fourier, obter o comprimento de difração (Rayleigh) e a solução para todo z de uma onda monocromática de frequência ω cujo perfil inicial em z=0 é gaussiano (\Phi(x,y,0)=A\exp(-x2/(2a2)). Vamos precisar da equação de Helmholtz, da aproximação paraxial e da técnica de transformada de Fourier para resolver.

Passo 2

Começamos da equação de Helmholtz para campo monocromático Phi(x,y,z):
nabla^2Phi + k^2Phi = 0,
com k=omega/c. Fazendo o ansatz Phi=psi(x,y,z)e^ikz e assumindo que psi varia lentamente em z (ou seja, partial^2psi/partial z^2ll k,partialpsi/partial z), obtemos a equação paraxial:
partialpsipartial z=i2knablaperp^2psi

Passo 3

Como o perfil inicial não depende de y, a parte transversal reduz a uma dimensão (x). Aplicamos a transformada de Fourier em x:
tildepsi(kx,0)=integral-infty^inftypsi(x,0)e^-ikx x,dx = Aintegral e^-x^2/(2a^2)e^-ikx x,dx = A,araiz2pi,e^-a^2kx^2/2
Cada componente plana se propaga com fase e^-i(kx^2/(2k))z, então
tildepsi(kx,z)=tildepsi(kx,0)e^-ikx^22kz
Para voltar ao domínio x usamos a transformada inversa:
psi(x,z)=12piintegral-infty^inftytildepsi(kx,z)e^ikx x,dkx

Passo 4

Esse integral é gaussiano e pode ser calculado diretamente. O resultado é
psi(x,z)=A,araiza^2+i,zkexp!l(-x^22l(a^2+i,zkr)r)
e portanto o campo total é
Phi(x,z)=psi(x,z),e^ikz

Passo 5

Definimos o comprimento de difração (Rayleigh) como o z em que a parte real e imaginária do raio efetivo se igualam. Isso dá
zR=k,a^2,
e podemos reescrever a^2+i,z/k=a^2l(1+i,z/zRr), realçando a expansão do feixe.

Passo 6

Resposta

O comprimento de difração (Rayleigh) vale
zR = k,a^2 = omegac,a^2,
e a solução para todo z da onda gaussiana é
Phi(x,z)=A,araiza^2+i,zkexp!l(-x^22l(a^2+i,zkr)+i k zr)

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