Obtenha a equação de propagação paraxial e a partir da óptica de Fourier determine o comprimento de difração e a solução para todo
para uma onda monocromática de frequência
cujo perfil em
é gaussiano na forma
Passo 1
A questão pede para derivar a equação de propagação paraxial e, usando óptica de Fourier, obter o comprimento de difração (Rayleigh) e a solução para todo z de uma onda monocromática de frequência ω cujo perfil inicial em z=0 é gaussiano (\Phi(x,y,0)=A\exp(-x2/(2a2)). Vamos precisar da equação de Helmholtz, da aproximação paraxial e da técnica de transformada de Fourier para resolver.
Passo 2
Começamos da equação de Helmholtz para campo monocromático
:
com
. Fazendo o ansatz
e assumindo que
varia lentamente em z (ou seja,
), obtemos a equação paraxial:
Passo 3
Como o perfil inicial não depende de y, a parte transversal reduz a uma dimensão (x). Aplicamos a transformada de Fourier em x:
Cada componente plana se propaga com fase
, então
Para voltar ao domínio x usamos a transformada inversa:
Passo 4
Esse integral é gaussiano e pode ser calculado diretamente. O resultado é
e portanto o campo total é
Passo 5
Definimos o comprimento de difração (Rayleigh) como o z em que a parte real e imaginária do raio efetivo se igualam. Isso dá
e podemos reescrever
, realçando a expansão do feixe.
Passo 6
Resposta
O comprimento de difração (Rayleigh) vale
e a solução para todo z da onda gaussiana é