Determine as soluções, constantes e não constantes, das equações abaixo:
d yd x=6 x^2-3 x^2 y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = 6x^2 - 3x^2y,
que pode ser vista como um caso linear ou separável. Vamos primeiro buscar soluções constantes e depois a família geral de soluções não constantes.

Passo 2

Para achar soluções constantes, impomos y=k e, portanto, dydx=0. A equação fica
0 = 6x^2 - 3x^2k = 3x^2(2 - k)
Como isso deve valer para todo x, precisamos de 2-k=0, ou seja,
k = 2
Logo, a única solução constante é y(x)=2.

Passo 3

Agora buscamos as soluções não constantes. Reescrevemos a equação como
dydx = 3x^2,(2 - y),
que é separável. Passamos todos os termos em y para um lado e em x para o outro:
dy2 - y = 3x^2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dy2 - y = integral 3x^2,dx
O lado esquerdo dá -lnlvert 2 - yrvert e o direito x^3 + C. Assim,
-lnlvert 2 - yrvert = x^3 + C Longrightarrow lnlvert 2 - yrvert = -,x^3 + C',
onde C'=-C. Exponenciando,
lvert 2 - yrvert = A,e^-x^3,
com A>0 arbitrário. Eliminando o valor absoluto e renomeando a constante, obtemos
2 - y = C,e^-x^3 Longrightarrow y(x) = 2 + K,e^-x^3,
onde K é constante real.

Resposta

A solução constante é
y(x) = 2
As soluções não constantes formam a família
y(x) = 2 + K,e^-x^3,
com KinR e Kneq0.

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