Determine as soluções, constantes e não constantes, das equações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
que pode ser vista como um caso linear ou separável. Vamos primeiro buscar soluções constantes e depois a família geral de soluções não constantes.
Passo 2
Para achar soluções constantes, impomos
e, portanto,
. A equação fica
Como isso deve valer para todo
, precisamos de
, ou seja,
Logo, a única solução constante é
.
Passo 3
Agora buscamos as soluções não constantes. Reescrevemos a equação como
que é separável. Passamos todos os termos em
para um lado e em
para o outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
O lado esquerdo dá
e o direito
. Assim,
onde
. Exponenciando,
com
arbitrário. Eliminando o valor absoluto e renomeando a constante, obtemos
onde
é constante real.
Resposta
A solução constante é
As soluções não constantes formam a família
com
e
.