Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de primeira ordem
ou seja
com
O que vamos precisar é calcular os autovalores de
, os autovetores associados, montar a solução geral e então classificar o ponto de equilíbrio
.]
Passo 2
Para encontrar os autovalores
, resolvemos
Expandindo,
Logo a equação característica é
]
Passo 3
Agora achamos os autovetores.
Para resolvemos
Para
daí escolhemos
.
Para resolvemos
Para
daí escolhemos
.]
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
Passo 5
Para
:
- O termo
cresce exponencialmente se . - O termo
decai a zero para qualquer .
Logo, em geral, a menos que , caso em que ao longo da direção .
Passo 6
Como há um autovalor positivo (
) e um negativo (
), o ponto de equilíbrio
é um ponto de sela (saddle) e instável.
Passo 7
Esboço qualitativo da família de soluções no plano
:
- A reta
é o autovetor instável (as soluções saem do ponto de sela ao longo dela). - A reta
é o autovetor estável (as soluções que começam nela vão para o ponto de sela quando caso venham de ). - Trajetórias genéricas aproximam-se da reta estável para
e são repelidas ao longo da reta instável para , formando o padrão clássico de sela.
Resposta
A solução geral é
Para
a componente
domina e
(salvo a solução degenerada
). O ponto
é um ponto de sela (instável).