Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=2 x1-x2 x2^prime=3 x1-2 x2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de primeira ordem
x1' = 2x1 - x2, x2' = 3x1 - 2x2,
ou seja x' = A,x com
A = 2 & -1[6pt]3 & -2
O que vamos precisar é calcular os autovalores de A, os autovetores associados, montar a solução geral e então classificar o ponto de equilíbrio 0.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores lambda, resolvemos
detl(A - lambda Ir) = det2-lambda & -1[4pt]3 & -2-lambda = (2-lambda)(-2-lambda) - (-1)cdot3
Expandindo,
(2-lambda)(-2-lambda) + 3 = (-4 -2lambda +2lambda +lambda^2) +3 = lambda^2 -1
Logo a equação característica é
lambda^2 -1 = 0 Longrightarrow lambda = 1,;-1
]

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para resolvemos
daí escolhemos .
Para resolvemos
daí escolhemos .]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
x(t) = C1,e^lambda1t,v^(1) + C2,e^lambda2t,v^(2) = C1,e^t11 + C2,e^-t13

Passo 5

Para tto+infty:
  • O termo C1e^t(1,1) cresce exponencialmente se C1neq0.
  • O termo C2e^-t(1,3) decai a zero para qualquer C2.
    Logo, em geral |vec x(t)|to+infty, a menos que C1=0, caso em que vec x(t)tovec0 ao longo da direção (1,3).

Passo 6

Como há um autovalor positivo ( lambda1=1) e um negativo ( lambda2=-1), o ponto de equilíbrio vec0 é um ponto de sela (saddle) e instável.

Passo 7

Esboço qualitativo da família de soluções no plano (x1,x2):
  • A reta x2=x1 é o autovetor instável (as soluções saem do ponto de sela ao longo dela).
  • A reta x2=3x1 é o autovetor estável (as soluções que começam nela vão para o ponto de sela quando tto+infty caso venham de t=-infty).
  • Trajetórias genéricas aproximam-se da reta estável para tto-infty e são repelidas ao longo da reta instável para tto+infty, formando o padrão clássico de sela.

Resposta

A solução geral é
x(t) = C1,e^t11 + C2,e^-t13
Para tto+infty a componente e^t(1,1) domina e |vec x(t)|to+infty (salvo a solução degenerada C1=0). O ponto (0,0) é um ponto de sela (instável).

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