Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
(1+x^2) y^prime+x y=-(1+x^2)^5 / 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa encontrar as soluções da seguinte equação diferencial de primeira ordem:
(1 + x^2) y' + x y = - (1 + x^2)^5 / 2
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos toda a equação por 1 + x^2:
y' + x1 + x^2 y = - (1 + x^2)^3 / 2
Aqui, identificamos:
  • P(x) = x1 + x^2
  • Q(x) = - (1 + x^2)^3 / 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral x1 + x^2 dx

Passo 4

Para resolver a integral integral x1 + x^2 dx, fazemos uma substituição simples:
Seja u = 1 + x^2, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2.
Então:
integral x1 + x^2 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C

Passo 5

Agora, voltamos ao fator integrante:
mu(x) = e^12 ln(1 + x^2) = (1 + x^2)^1/2 = raiz1 + x^2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
raiz1 + x^2 cdot y' + xraiz1 + x^2 y = - (1 + x^2)^2
Isso simplifica para:
ddx [raiz1 + x^2 cdot y] = - (1 + x^2)^2

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
raiz1 + x^2 cdot y = - integral (1 + x^2)^2 dx + C
Vamos calcular essa integral separadamente.

Passo 8

Expande (1 + x^2)^2:
(1 + x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4
Então, a integral fica:
integral (1 + x^2)^2 dx = integral (1 + 2x^2 + x^4) dx = x + 23x^3 + 15x^5 + C
Portanto:
raiz1 + x^2 cdot y = - ( x + 23x^3 + 15x^5 ) + C

Passo 9

Finalmente, isolamos y dividindo ambos os lados por raiz1 + x^2:
y = - x - 23x^3 - 15x^5 + C raiz1 + x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = - x - 23x^3 - 15x^5 raiz1 + x^2 + C raiz1 + x^2

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