Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa encontrar as soluções da seguinte equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
, ou seja,
.
Então:
Passo 5
Agora, voltamos ao fator integrante:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Vamos calcular essa integral separadamente.
Passo 8
Expande
:
Então, a integral fica:
Portanto:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: