Se
é contínua, derivável em
e
, então
é estritamente crescente em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que está definida no intervalo
. Sabemos que essa função é contínua nesse intervalo e que ela tem derivada em todos os pontos dentro de
. Além disso, a derivada
é sempre maior que zero nesse intervalo aberto. O que queremos mostrar é que, com essas condições, a função
é estritamente crescente em todo o intervalo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como continuidade, derivadas e o teorema do valor médio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser estritamente crescente. Dizemos que
é estritamente crescente em
se, sempre que
em
, então
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema afirma que se uma função
é contínua em
e derivável em
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Passo 4
Como sabemos que
para todo
, isso significa que a inclinação da função é sempre positiva nesse intervalo. Ou seja, a taxa de variação de
é sempre positiva.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio, temos que existe um
em
tal que:
Como
e
(porque
), então:
Passo 6
Esse resultado mostra que
. Mas para mostrar que a função é estritamente crescente em todo o intervalo
, precisamos mostrar que isso vale para quaisquer dois pontos
em
.
Passo 7
Então, vamos considerar quaisquer dois pontos
e
em
com
. Como
é contínua em
e derivável em
, o Teorema do Valor Médio se aplica nesse subintervalo. Logo, existe um ponto
em
tal que:
Passo 8
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer dois pontos
em
, temos
. Assim, a função
é estritamente crescente em todo o intervalo
.