Se f:[a, b] R é contínua, derivável em (a, b) e f^prime(x)>0, x in(a, b), então f é estritamente crescente em [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função f que está definida no intervalo [a, b]. Sabemos que essa função é contínua nesse intervalo e que ela tem derivada em todos os pontos dentro de (a, b). Além disso, a derivada f'(x) é sempre maior que zero nesse intervalo aberto. O que queremos mostrar é que, com essas condições, a função f é estritamente crescente em todo o intervalo [a, b].
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como continuidade, derivadas e o teorema do valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser estritamente crescente. Dizemos que f é estritamente crescente em [a, b] se, sempre que x1 < x2 em [a, b], então f(x1) < f(x2) .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema afirma que se uma função f é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que:
f'(c) = f(b) - f(a)b - a

Passo 4

Como sabemos que f'(x) > 0 para todo x in (a, b) , isso significa que a inclinação da função é sempre positiva nesse intervalo. Ou seja, a taxa de variação de f é sempre positiva.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio, temos que existe um c em (a, b) tal que:
f'(c) = f(b) - f(a)b - a
Como f'(c) > 0 e b - a > 0 (porque a < b ), então:
f(b) - f(a)b - a > 0 implies f(b) - f(a) > 0 implies f(b) > f(a)

Passo 6

Esse resultado mostra que f(b) > f(a) . Mas para mostrar que a função é estritamente crescente em todo o intervalo [a, b], precisamos mostrar que isso vale para quaisquer dois pontos x1 < x2 em [a, b].

Passo 7

Então, vamos considerar quaisquer dois pontos x1 e x2 em [a, b] com x1 < x2 . Como f é contínua em [x1, x2] e derivável em (x1, x2), o Teorema do Valor Médio se aplica nesse subintervalo. Logo, existe um ponto c em (x1, x2) tal que:
f'(c) = f(x2) - f(x1)x2 - x1

Passo 8

Sabemos que f'(c) > 0 e x2 - x1 > 0 , então:
f(x2) - f(x1)x2 - x1 > 0 implies f(x2) - f(x1) > 0 implies f(x2) > f(x1)

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer dois pontos x1 < x2 em [a, b], temos f(x1) < f(x2) . Assim, a função f é estritamente crescente em todo o intervalo [a, b].

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