Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e informa que
é uma solução particular. Queremos (a) verificar que
realmente satisfaz a equação e (b) usar o método de redução de Riccati – que consiste em fazer a troca
– para obter uma equação linear de primeira ordem em
e daí encontrar a solução geral de
.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão
Para
temos
e o lado direito avaliado em
é
que coincide com
. Logo
é de fato uma solução particular.
Passo 3
Aplicamos a substituição
Calculamos
em função de
:
Substituindo
e
na forma padrão
e sabendo que
anula o termo quadrático não–linear, obtemos uma equação linear para
. Após simplificar, chega-se a
Passo 4
Resolvemos a equação linear
O fator integrante é
Multiplicando por
e integrando,
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando a
:
Podemos reescrever juntando em único quociente e renomeando
por
:
com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da Riccati
é
e de fato para
(ou seja, desprezando
frente a
) recupera-se a solução particular
.