Mostre que y1 é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
x^2 y^prime-x^2 y^2+x y+1=0, y1=x^-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
x^2y' - x^2y^2 + x,y + 1 = 0
e informa que
y1(x)=x^-1
é uma solução particular. Queremos (a) verificar que y1 realmente satisfaz a equação e (b) usar o método de redução de Riccati – que consiste em fazer a troca
y = y1 + 1u
– para obter uma equação linear de primeira ordem em u e daí encontrar a solução geral de y.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y' = y^2 - 1x,y - 1x^2
Para y1(x)=x^-1 temos
y1'(x) = -,x^-2,
e o lado direito avaliado em y1 é
y1^2 - 1x,y1 - 1x^2 = 1x^2 - 1x,1x - 1x^2 = -,1x^2,
que coincide com y1'. Logo y1=x^-1 é de fato uma solução particular.

Passo 3

Aplicamos a substituição
y = y1 + 1u = 1x + 1u(x)
Calculamos y' em função de u:
y' = -,1x^2 - u'u^2
Substituindo y e y' na forma padrão
y' = y^2 - 1x,y - 1x^2,
e sabendo que y1 anula o termo quadrático não–linear, obtemos uma equação linear para u. Após simplificar, chega-se a
u' + 1x,u + 1 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação linear
u' + 1x,u = -1
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(!integral tfrac1x,dxr) = x
Multiplicando por x e integrando,
(x,u)' = -,x Longrightarrow x,u = -,x^22 + C Longrightarrow u(x) = -,x2 + Cx,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando a y:
y(x) = 1x + 1u(x) = 1x ;+; 1-tfracx2 + tfracCx = 1x + x,C - tfracx^22, = 1x + 2x,2C - x^2,
Podemos reescrever juntando em único quociente e renomeando 2C por K:
y(x) = K + x^2,x,(K - x^2),,
com K constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da Riccati
x^2y' - x^2y^2 + x,y + 1 = 0
é
boxedy(x) = K + x^2,x,(K - x^2),,
e de fato para Ktoinfty (ou seja, desprezando x^2 frente a K) recupera-se a solução particular y1(x)=x^-1.

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