Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1^{a} ordem abaixo:
x^{2} y^{\prime}+2 x y=\cos x -\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x - (1 + x^{2})^{5/2}
Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos escrever no formato padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x^{2} (assumindo x\neq0), obtemos
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\cos x}{x^{2}} \;-\;\frac{(1 + x^{2})^{5/2}}{x^{2}}.
Aqui P(x)=2/x e
Q(x)=\frac{\cos x}{x^{2}} - \frac{(1 + x^{2})^{5/2}}{x^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(2\ln|x|) =x^{2}.

Passo 4

Multiplicando a equação por x^{2} temos
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x - (1 + x^{2})^{5/2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) =\cos x - (1 + x^{2})^{5/2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x^{2}y =\int \cos x\,dx - \int (1 + x^{2})^{5/2}\,dx + C =\sin x - \int (1 + x^{2})^{5/2}\,dx + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) =\frac{\sin x - \displaystyle\int (1 + x^{2})^{5/2}\,dx + C}{x^{2}},
que, com C\in\mathbb{R}, é toda a família de soluções da EDO.

Resposta

y(x) =\frac{\sin x - \displaystyle\int (1 + x^{2})^{5/2}\,dx + C}{x^{2}}.

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