Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
x y^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
x\,\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-y^{2}}
ou seja, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa relação. Para isso vamos usar o fato de que podemos separar os termos em y de um lado e em x do outro, e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Dividimos os dois lados por \sqrt{1-y^{2}} e por x (supondo x\neq0 e |y|\neq1 para a separação) para obter
\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\,\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Em seguida escrevemos em forma de diferenciais:
\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{dx}{x}.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = \int \frac{dx}{x}.
O lado esquerdo é a primitiva de (1-y^{2})^{-1/2}, que é \arcsin(y), e o direito é \ln\bigl|x\bigr|. Logo
\arcsin(y)=\ln\bigl|x\bigr|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a função seno em ambos os lados:
y=\sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Podemos reescrever a constante C como um deslocamento C_1, ficando a forma geral
y(x)=\sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr).

Passo 5

Além dessa família de soluções, há também as soluções constantes que surgem quando \sqrt{1-y^{2}}=0, ou seja, y=\pm1. De fato, se y\equiv1 ou y\equiv-1, então \frac{dy}{dx}=0 e a equação x\cdot0=\sqrt{1-y^{2}}=0 fica satisfeita.

Resposta

As soluções gerais são
y(x)=\sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr),
com C_{1}\in\mathbb{R}, além das soluções constantes
y(x)=1 \quad\text{e}\quad y(x)=-1.

Exercícios relacionados