Avalie se as sequências abaixo são convergentes ou não
a_{n} = \frac{(\log n)^{2}}{n^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da sequência
a_{n} = \frac{(\log n)^{2}}{n^{7}}
Isso faz parte do tópico de crescimento assintótico de funções e cálculo de limites de sequências. Para decidir se ela converge, precisamos calcular
\lim_{n\to\infty} a_{n}

Passo 2

Para avaliar
\lim_{n\to\infty} \frac{(\log n)^{2}}{n^{7}}
podemos usar o fato de que, para qualquer potência positiva p>0, a função n^{p} cresce muito mais rápido que (\log n)^{q} para qualquer q. Logo, denominador domina numerador e o quociente tende a zero.
Alternativamente, trate x\mapsto \frac{(\log x)^{2}}{x^{7}} e aplique a Regra de l’Hôpital repetidas vezes (derivando numerador e denominador) para ver que o limite é zero.

Passo 3

Como o limite da sequência é zero, concluímos que a_{n} converge e seu valor limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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