Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(a) (x+3 y)-x y^{\prime}=0
(b) y^{\prime}=2 y+e^{x}
(c) y^{\prime}-2 x y=x
(d) y^{\prime}+3 y=x+e^{-2 x}
(e) y^{\prime}-2 y=x^{2} e^{2 x}
(f) y^{\prime}+y=x e^{-x}+1
(g) x y^{\prime}+y=3 x \cos (2 x)
(h) y^{\prime}-y=2 e^{x}
(i) x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x
(j) y^{\prime}-2 y=e^{2 x}
(k) x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x
(l) x^{2} y^{\prime}+2 x y=\cos x
(m) y^{\prime}=x^{3}-2 x y
(n) y^{\prime} \operatorname{sen} x+y \cos x=1
(o) x y^{\prime}+x^{2} y=e^{-x^{2} / 2}
§ \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+x y=-\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções gerais de várias equações diferenciais lineares de primeira ordem. O conteúdo é o método do fator integrante para resolver equações na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
e, quando possível, usar separação de variáveis para equações que já estão separáveis.

Passo 2

Em geral, para
y' + P(x)\,y = Q(x)
definimos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna \bigl(\mu(x)y\bigr)', o que nos permite escrever
\bigl(\mu(x)y\bigr)' = \mu(x)\,Q(x).
Depois é só integrar e resolver para y.

Passo 3

Equação: (x+3y)-x\,y'=0.
Reescrevendo:
x\,y' = x + 3y \quad\Longrightarrow\quad y' - \frac{3}{x}y = 1.
Aqui P(x)=-3/x, Q(x)=1.
\mu(x)=e^{\int -\frac{3}{x}dx}=x^{-3}.
Multiplicando:
\bigl(x^{-3}y\bigr)' = x^{-3}.
Integramos:
x^{-3}y = \int x^{-3}dx + C = -\tfrac12x^{-2}+C \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac12x + Cx^3.

Passo 4

Equação: y' = 2y + e^x
y' - 2y = e^x,\quad P(x)=-2,\;Q(x)=e^x \quad\Longrightarrow\quad \mu(x)=e^{-2x}.
\bigl(e^{-2x}y\bigr)' = e^{-x}, \quad e^{-2x}y = -e^{-x}+C \quad\Longrightarrow\quad y = -e^x + Ce^{2x}.

Passo 5

Equação: y' -2x\,y = x
P(x)=-2x,\;Q(x)=x, \quad\mu(x)=e^{-x^2}.
\bigl(e^{-x^2}y\bigr)' = x e^{-x^2}, \quad e^{-x^2}y = -\tfrac12e^{-x^2}+C \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac12 + C e^{x^2}.

Passo 6

Equação: y' +3y = x + e^{-2x}
P(x)=3,\;Q(x)=x+e^{-2x}, \quad\mu(x)=e^{3x}.
\bigl(e^{3x}y\bigr)' = x e^{3x} + e^{x}. \int x e^{3x}dx = \tfrac{x}{3}e^{3x}-\tfrac{1}{9}e^{3x}, \int e^{x}dx=e^{x}.
e^{3x}y = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + e^{x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C e^{-3x}.

Passo 7

Equação: y' -2y = x^2 e^{2x}
P(x)=-2,\;Q(x)=x^2e^{2x}, \quad\mu(x)=e^{-2x}.
\bigl(e^{-2x}y\bigr)' = x^2, \quad e^{-2x}y = \tfrac{x^3}{3}+C \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{x^3}{3}e^{2x} + C e^{2x}.

Passo 8

Equação: y' + y = x e^{-x} +1
P(x)=1,\;Q(x)=x e^{-x}+1, \quad\mu(x)=e^{x}.
\bigl(e^{x}y\bigr)' = x + e^{x}, \quad e^{x}y = \tfrac{x^2}{2} + e^{x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{x^2}{2}e^{-x} + 1 + C e^{-x}.

Passo 9

Equação: x y' + y = 3x\cos(2x) \; (x\neq0)
y' + \tfrac{1}{x}y = 3\cos(2x), \quad\mu(x)=x.
(xy)' = 3x\cos(2x), \quad xy = 3\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\sin(2x) + \tfrac14\cos(2x)\Bigr)+C
\Longrightarrow\quad y = \tfrac32\sin(2x) + \tfrac34\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.

Passo 10

Equação: y' - y = 2e^{x}
P(x)=-1,\;Q(x)=2e^{x}, \quad\mu(x)=e^{-x}.
(e^{-x}y)' = 2, \quad e^{-x}y = 2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = 2x e^{x} + C e^{x}.

Passo 11

Equação: x y' +2y = \sin x \;(x\neq0)
y' + \tfrac{2}{x}y = \tfrac{\sin x}{x}, \quad\mu(x)=x^2.
(x^2y)' = x\sin x, \quad x^2y = -x\cos x + \sin x + C
\Longrightarrow\quad y = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^2} + \frac{C}{x^2}.

Passo 12

Equação: y' -2y = e^{2x}
P(x)=-2,\;Q(x)=e^{2x}, \quad\mu(x)=e^{-2x}.
(e^{-2x}y)' = 1, \quad e^{-2x}y = x + C \quad\Longrightarrow\quad y = x e^{2x} + C e^{2x}.

Passo 13

Idêntica a (i). Logo
y = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^2} + \frac{C}{x^2}.

Passo 14

Equação: x^2 y' +2x y = \cos x \;(x\neq0)
y' + \tfrac{2}{x}y = \tfrac{\cos x}{x^2}, \quad\mu(x)=x^2.
(x^2y)' = \cos x, \quad x^2y = \sin x + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\sin x}{x^2} + \frac{C}{x^2}.

Passo 15

Equação: y' = x^3 -2x\,y
y' + 2x\,y = x^3, \quad\mu(x)=e^{x^2}.
\bigl(e^{x^2}y\bigr)' = x^3e^{x^2}, \quad e^{x^2}y = \tfrac12(x^2-1)e^{x^2}+C
\Longrightarrow\quad y = \tfrac{x^2-1}{2} + C e^{-x^2}.

Passo 16

Equação: y'\sin x + y\cos x = 1
Observe que (y\sin x)' = y'\sin x + y\cos x.
(y\sin x)' = 1, \quad y\sin x = x + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x + C}{\sin x}.

Passo 17

Equação: x y' + x^2 y = e^{-x^2/2} \;(x\neq0)
y' + x y = x^{-1}e^{-x^2/2}, \quad\mu(x)=e^{x^2/2}.
\bigl(e^{x^2/2}y\bigr)' = \frac1x, \quad e^{x^2/2}y = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad y = (\ln|x| + C)e^{-x^2/2}.

Passo 18

Equação: (1+x^2)y' + x y = - (1+x^2)^{5/2}
y' + \frac{x}{1+x^2}y = -(1+x^2)^2, \quad\mu(x)=\sqrt{1+x^2}.
\bigl(\sqrt{1+x^2}\,y\bigr)' = -(1+x^2)^{5/2},
\sqrt{1+x^2}\,y = -\int(1+x^2)^{5/2}dx + C \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\int (1+x^2)^{5/2}dx + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}.

Resposta

(a) y = -\tfrac12 x + Cx^3.
(b) y = -e^x + Ce^{2x}.
(c) y = -\tfrac12 + Ce^{x^2}.
(d) y = \tfrac{x}{3} - \tfrac{1}{9} + e^{-2x} + Ce^{-3x}.
(e) y = \tfrac{x^3}{3}e^{2x} + Ce^{2x}.
(f) y = \tfrac{x^2}{2}e^{-x} + 1 + Ce^{-x}.
(g) y = \tfrac32\sin(2x) + \tfrac34\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.
(h) y = 2x e^{x} + Ce^{x}.
(i) y = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^2} + \frac{C}{x^2}.
(j) y = x e^{2x} + Ce^{2x}.
(k) y = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^2} + \frac{C}{x^2}.
(l) y = \frac{\sin x}{x^2} + \frac{C}{x^2}.
(m) y = \frac{x^2 - 1}{2} + Ce^{-x^2}.
(n) y = \frac{x + C}{\sin x}.
(o) y = (\ln|x| + C)e^{-x^2/2}.
§ y = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\int (1+x^2)^{5/2}dx + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}.

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