Resolva:
x y^{\prime \prime \prime}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem
x\,y''' = 2.
O que vamos usar é simples: escrever isso como
y''' = \frac{2}{x}
e integrar sucessivas vezes, sempre incluindo uma constante de integração a cada passo.

Passo 2

Integramos uma vez para obter y''. Como
y''' = \frac{2}{x},
temos
y'' = \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\bigl|x\bigr| + C_{1}.

Passo 3

Agora integramos para achar y'.
y' = \int \bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr)\,dx = 2\int \ln|x|\,dx + C_{1}x + C_{2}.
Mas
\int \ln|x|\,dx = x\ln|x| - x,
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y' = 2\bigl(x\ln|x| - x\bigr) + C_{1}x + C_{2} = 2x\ln|x| - 2x + C_{1}x + C_{2}.

Passo 4

Integramos pela terceira vez para obter y:
y = \int \bigl(2x\ln|x| - 2x + C_{1}x + C_{2}\bigr)\,dx + C_{3}.
Separe as integrais:
2\int x\ln|x|\,dx \;-\;2\int x\,dx\;+\;C_{1}\int x\,dx\;+\;C_{2}\int 1\,dx\;+\;C_{3}.
Sabemos que
\int x\ln|x|\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln|x| - \frac{x^{2}}{4}, \quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int 1\,dx = x.
Substituindo:
y = 2\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\ln|x| - \frac{x^{2}}{4}\Bigr) -2\cdot\frac{x^{2}}{2} + C_{1}\cdot\frac{x^{2}}{2} + C_{2}x + C_{3}.
Simplificando:
y = x^{2}\ln|x| - \frac{x^{2}}{2} - x^{2} + \frac{C_{1}}{2}x^{2} + C_{2}x + C_{3} = x^{2}\ln|x| + \underbrace{\Bigl(\frac{C_{1}}{2}-\frac{3}{2}\Bigr)}_{K}\,x^{2} + C_{2}x + C_{3}.

Resposta

\boxed{y(x) = x^{2}\ln\bigl|x\bigr| + K\,x^{2} + C_{2}x + C_{3},}
onde K, C_{2}, C_{3} são constantes arbitrárias de integração.

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