determine as soluções das equações diferenciais
y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+24 y=0 sendo que y(0)=3 e y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais. Mais precisamente:
  • Equação diferencial: y''+10y'+24y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=3 e y'(0)=5.
O problema pede: determinar (ou seja, encontrar explicitamente) a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Idéia básica (sem resolver ainda): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma y(x)=e^{r x}, porque derivadas de exponenciais retornam exponenciais proporcionais, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Aqui eu vou aplicar isso.
Substituindo y(x)=e^{r x} na equação y''+10y'+24y=0 temos que r deve satisfazer a equação característica
r^{2}+10r+24=0.

Passo 3

Agora vamos resolver a equação característica
r^{2}+10r+24=0.
Essa é uma quadrática. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 24 e cuja soma seja 10. Esses números são 4 e 6. Então a fatoração é
r^{2}+10r+24=(r+4)(r+6).
Logo as raízes são r=-4 e r=-6, que são duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Aplicando aqui com r_{1}=-4 e r_{2}=-6, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{-6x}.

Passo 5

Precisamos encontrar C_{1} e C_{2} usando as condições iniciais. Primeiro calcule y(0):
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}.
A condição y(0)=3 dá a primeira equação
C_{1}+C_{2}=3.
Agora calcule y'(x). Derivando y(x)=C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{-6x} obtemos
y'(x)=-4C_{1}e^{-4x}-6C_{2}e^{-6x}.
Aplicando x=0 e a condição y'(0)=5 temos
y'(0)=-4C_{1}-6C_{2}=5.
Portanto obtemos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\[4pt] -4C_{1}-6C_{2}=5. \end{cases}]

Passo 6

Vamos resolver o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por 4 para combinar com a segunda:
4C_{1}+4C_{2}=12.
Agora somo essa equação com a segunda equação -4C_{1}-6C_{2}=5:
(4C_{1}+4C_{2})+(-4C_{1}-6C_{2})=12+5.
O lado esquerdo simplifica para -2C_{2} e o lado direito para 17, então
-2C_{2}=17 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{17}{2}.
Usando C_{1}+C_{2}=3 obtemos
C_{1}=3-C_{2}=3-\left(-\frac{17}{2}\right)=3+\frac{17}{2}=\frac{6}{2}+\frac{17}{2}=\frac{23}{2}.

Passo 7

Já encontramos as constantes C_{1}=\frac{23}{2} e C_{2}=-\frac{17}{2}. Não vou reescrever a solução final aqui (vou deixar isso apenas no campo de resposta final, como você pediu). Só um comentário final rápido: dá para checar substituindo x=0 e calculando y'(0) para confirmar que as condições iniciais são satisfeitas — eu verifiquei essa conta e ela fecha.

Resposta

y(x)=\dfrac{23}{2}e^{-4x}-\dfrac{17}{2}e^{-6x}

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