determine as soluções das equações diferenciais
sendo que
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais. Mais precisamente:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O problema pede: determinar (ou seja, encontrar explicitamente) a solução
que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Idéia básica (sem resolver ainda): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma
, porque derivadas de exponenciais retornam exponenciais proporcionais, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Aqui eu vou aplicar isso.
Substituindo
na equação
temos que
deve satisfazer a equação característica
Passo 3
Agora vamos resolver a equação característica
Essa é uma quadrática. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Então a fatoração é
Logo as raízes são
e
, que são duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Aplicando aqui com
e
, a solução geral é
Passo 5
Precisamos encontrar
e
usando as condições iniciais. Primeiro calcule
:
A condição
dá a primeira equação
Agora calcule
. Derivando
obtemos
Aplicando
e a condição
temos
Portanto obtemos o sistema linear para
:
Passo 6
Vamos resolver o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por
para combinar com a segunda:
Agora somo essa equação com a segunda equação
:
O lado esquerdo simplifica para
e o lado direito para
, então
Usando
obtemos
Passo 7
Já encontramos as constantes
e
. Não vou reescrever a solução final aqui (vou deixar isso apenas no campo de resposta final, como você pediu). Só um comentário final rápido: dá para checar substituindo
e calculando
para confirmar que as condições iniciais são satisfeitas — eu verifiquei essa conta e ela fecha.