determine as soluções das equações diferenciais
(x+1) \cdot y^{\prime}+y=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
(x+1)\cdot y'+y=y^{2}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação é de primeira ordem e envolve y' (derivada de y em relação a x).
  • Precisamos encontrar todas as soluções y(x) (familia geral e possíveis soluções constantes).
  • Note que o coeficiente de y' é x+1, que se anula em x=-1; isso pode afetar domínio das soluções.

Passo 2

Reescrevendo a equação para deixar y' isolado e facilitar manipulação:
(x+1)\,y' = y^{2}-y.
Usando a notação y'=\dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y(y-1)}{x+1}.
Esta forma sugere que podemos separar variáveis (colocar termos em y de um lado e termos em x do outro). Antes de separar, atenção: a separação envolve dividir por y(y-1), então precisamos tratar separadamente as possíveis soluções constantes y\equiv 0 e y\equiv 1 (pois nesses casos dividir por y(y-1) seria inválido). Vamos primeiro obter as soluções não-constantes assumindo y\neq 0 e y\neq 1.

Passo 3

Se y\neq 0 e y\neq 1, separamos as variáveis:
\frac{dy}{y(y-1)}=\frac{dx}{x+1}.
Também observe que x\neq -1 no intervalo onde aplicamos esta separação, porque o lado direito tem x+1 no denominador.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Queremos representar
\frac{1}{y(y-1)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}.
Multiplicando por y(y-1) obtemos 1=A(y-1)+By. Igualando coeficientes:
(A+B)y - A = 1.
Daí vem o sistema A+B=0 e -A=1, logo A=-1 e B=1. Portanto
\frac{1}{y(y-1)}=-\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\left(-\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}\right)dy=\int\frac{dx}{x+1}.
Calculando as integrais:
-\ln|y|+\ln|y-1|=\ln|x+1|+C,
onde C é constante de integração. Podemos combinar os logaritmos do lado esquerdo:
\ln\left|\frac{y-1}{y}\right|=\ln|x+1|+C.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{y-1}{y}\right|=e^{C}\,|x+1|.
Definindo uma constante arbitrária não nula K=\pm e^{C} (absorvendo o sinal), temos
\frac{y-1}{y}=K(x+1).
Agora resolvemos algebricamente para y:
y-1=K(x+1)y \quad\Rightarrow\quad y\bigl(1-K(x+1)\bigr)=1.
Logo, sempre que 1-K(x+1)\neq 0,
y(x)=\frac{1}{1-K(x+1)},
onde K é uma constante arbitrária (real). Observações sobre domínio: a solução vale em intervalos onde x\neq -1 e 1-K(x+1)\neq 0. Para valores de x em que 1-K(x+1)=0 a solução apresenta descontinuidade vertical.

Passo 7

Agora tratamos as soluções constantes que excluímos antes. Se y\equiv 0, substituindo na equação original:
(x+1)\cdot 0 + 0 = 0^{2}\quad\checkmark,
portanto y\equiv 0 é solução. Se y\equiv 1,
(x+1)\cdot 0 + 1 = 1^{2}\quad\checkmark,
portanto y\equiv 1 também é solução. Note que a família y(x)=\dfrac{1}{1-K(x+1)} incorpora y\equiv 1 quando K=0; já y\equiv 0 não aparece nessa fórmula, então deve ser listada separadamente.

Passo 8

Resumo e interpretação final:
  • Família geral (não-constante ou com K=0 dando y\equiv 1): \;y(x)=\dfrac{1}{1-K(x+1)}\;, com constante arbitrária K\in\mathbb{R}, válida em intervalos que não contêm x=-1 e onde 1-K(x+1)\neq 0.
  • Solução constante adicional: \;y(x)\equiv 0\;.
  • Em x=-1 a equação original impõe y=-??? Na verdade, avaliando em x=-1 obtemos y=y^{2}, logo só podem assumir valores 0 ou 1 nesse ponto; por isso qualquer solução que seja contínua em x=-1 deve satisfazer y(-1)\in\{0,1\}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{1-K(x+1)},\quad K\in\mathbb{R},
com domínio em intervalos que não contenham x=-1 e tal que 1-K(x+1)\neq 0.
y(x)\equiv 0.

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