determine as soluções das equações diferenciais (x+1) \cdot y^{\prime}+y=y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
(x+1)\cdot y'+y=y^{2}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A equação é de primeira ordem e envolve y' (derivada de y em relação a x).
Precisamos encontrar todas as soluções y(x) (familia geral e possíveis soluções constantes).
Note que o coeficiente de y' é x+1, que se anula em x=-1; isso pode afetar domínio das soluções.
Passo 2
Reescrevendo a equação para deixar y' isolado e facilitar manipulação:
(x+1)\,y' = y^{2}-y.
Usando a notação y'=\dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y(y-1)}{x+1}.
Esta forma sugere que podemos separar variáveis (colocar termos em y de um lado e termos em x do outro). Antes de separar, atenção: a separação envolve dividir por y(y-1), então precisamos tratar separadamente as possíveis soluções constantes y\equiv 0 e y\equiv 1 (pois nesses casos dividir por y(y-1) seria inválido). Vamos primeiro obter as soluções não-constantes assumindo y\neq 0 e y\neq 1.
Passo 3
Se y\neq 0 e y\neq 1, separamos as variáveis:
\frac{dy}{y(y-1)}=\frac{dx}{x+1}.
Também observe que x\neq -1 no intervalo onde aplicamos esta separação, porque o lado direito tem x+1 no denominador.
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Queremos representar
\frac{1}{y(y-1)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}.
Multiplicando por y(y-1) obtemos 1=A(y-1)+By. Igualando coeficientes:
(A+B)y - A = 1.
Daí vem o sistema A+B=0 e -A=1, logo A=-1 e B=1. Portanto
onde K é uma constante arbitrária (real). Observações sobre domínio: a solução vale em intervalos onde x\neq -1 e 1-K(x+1)\neq 0. Para valores de x em que 1-K(x+1)=0 a solução apresenta descontinuidade vertical.
Passo 7
Agora tratamos as soluções constantes que excluímos antes. Se y\equiv 0, substituindo na equação original:
(x+1)\cdot 0 + 0 = 0^{2}\quad\checkmark,
portanto y\equiv 0 é solução. Se y\equiv 1,
(x+1)\cdot 0 + 1 = 1^{2}\quad\checkmark,
portanto y\equiv 1 também é solução. Note que a família y(x)=\dfrac{1}{1-K(x+1)} incorpora y\equiv 1 quando K=0; já y\equiv 0 não aparece nessa fórmula, então deve ser listada separadamente.
Passo 8
Resumo e interpretação final:
Família geral (não-constante ou com K=0 dando y\equiv 1): \;y(x)=\dfrac{1}{1-K(x+1)}\;, com constante arbitrária K\in\mathbb{R}, válida em intervalos que não contêm x=-1 e onde 1-K(x+1)\neq 0.
Solução constante adicional: \;y(x)\equiv 0\;.
Em x=-1 a equação original impõe y=-??? Na verdade, avaliando em x=-1 obtemos y=y^{2}, logo só podem assumir valores 0 ou 1 nesse ponto; por isso qualquer solução que seja contínua em x=-1 deve satisfazer y(-1)\in\{0,1\}.
Resposta
y(x)=\frac{1}{1-K(x+1)},\quad K\in\mathbb{R},
com domínio em intervalos que não contenham x=-1 e tal que 1-K(x+1)\neq 0.