Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(l) y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
y' = \frac{x^{2}}{y}
ou seja, \tfrac{dy}{dx} = \tfrac{x^{2}}{y}. Vamos usar o método de separação de variáveis e integração direta.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y\,dx:
y\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int y\,dy = \int x^{2}\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais:
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Multiplique por 2 e renomeie a constante C_{1}=2C:
y^{2} = \frac{2x^{3}}{3} + C_{1},
daí
y(x) = \pm\sqrt{\frac{2x^{3}}{3} + C_{1}}.

Resposta

y(x) = \pm\sqrt{\tfrac{2x^{3}}{3} + C}, onde C é constante de integração.

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